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第 2 章 平面解析几何初步
第1课时 直线的斜率(1)
教学过程
一、 问题情境
1. 情境:
多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.
2. 问题:
在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x, y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢?
两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线?
二、 数学建构
(一) 生成概念
1. 探究活动
学生进行思考、联想、讨论.
学生回答并演示(①过两点;②过一点及确定的方向)
观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.
问题1 我们熟悉的坡度是怎样确定的?
利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的.
问题2 如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?
由学生讨论引出课题:直线的斜率.
2. 数学概念
直线斜率的定义:已知两点P(x1, y1), Q(x2, y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为:
k= (x1≠x2).
(二) 理解概念
1. 因为k==(x1≠x2),所以斜率公式与P, Q两点的顺序无关.
2. 如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.
3. 对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k===.
*问题3 对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?
设直线l不与x轴垂直.在直线l上有P(x1, y1), Q(x2, y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3, y3), N(x4, y4),根据定义,直线l斜率应为k=, ≠0,因为与共线,所以=λ,即(x4-x3, y4-y3)=λ(x2-x1, y2-y1), x4-x3=λ(x2-x1), y4-y3=λ(y2-y1), k===k.
这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.[4]
(三) 巩固概念
问题4 一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少?
解答 在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.
三、 数学运用
【例1】 (教材P78例1)如图1,直线l1, l2, l3都经过点P(3, 2),又l1, l2, l3分别经过点Q1(-2, -1), Q2(4, -2), Q3(-3, 2),试计算直线l1, l2, l3的斜率.[5]
(图1)
解 根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1==,直线l2的斜率为k2==-4,直线l3的斜率为k3==0.
变式1 若点Q1的坐标变为(m, -1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.[6]
解 (1) 当m=3时,l1的斜率不存在;当m≠3时,直线l1的斜率为k1==.
(2) 若直线l1的斜率为2=,则m=.
变式2 在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.[7]
解 从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);
当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);
当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);
当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).
【例2】 (教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1); (2)-.[8]
[处理建议] 让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.
解 (1) 根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.
(图2) (图3)
(2) ∵ -=,∴ 将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8, -2),因此经过点(8, -2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.
[题后反思] 画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.
【例3】 已知三点A(a, 2), B(3, 7), C(-2, -9a)在一条直线上,求实数a的值.[9]
解 因为3≠-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.
[题后反思] 利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.
问题5 两个点可以确定一条直线,一个点及直线的斜率也可以确定一条直线,
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