2-4走向高考数学章节.ppt

考纲解读 1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质． 2．会求二次函数在闭区间上的最值． 3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题． 考向预测 1．由于二次函数与二次方程、二次不等式之间有着密切的联系，同时有些复杂函数可通过换元化为二次函数，加上三次函数的导函数是二次函数，因此二次函数一直是高考的热点． 2．常与二次方程、不等式等综合考查． 知识梳理 1．二次函数的解析式 (1)一般式：f(x)＝ ； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h，k)，则其解析式为：f(x)＝ ； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x1，x2，则其解析式为f(x)＝ ． 2．二次函数的图像和性质 3.若二次函数y＝f(x)恒满足f(x＋m)＝f(－x＋n)，则其对称轴为x＝ . 基础自测 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足abc，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是图中的 (　　) [答案]　A [解析]　∵abc且a＋b＋c＝0， ∴a0，c0，b2－4ac0， ∴图像开口向上，与y轴的截距为负，且过(1,0)点． [答案]　D 3．(2010·四川文)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是 (　　) A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1 [答案]　A 4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是定义在R上的偶函数，则f(x)在(0，＋∞)上 (　　) A．为增函数 B．为减函数 C．先减后增 D．先增后减 [答案]　B [解析]　∵f(x)为R上的偶函数， ∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3. 由二次函数的图像易知f(x)＝－x2＋3在(0，＋∞)上为减函数． 5．f(x)＝x2＋2(2－a)x＋2在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是__________． [答案]　[4，＋∞) 6．(教材改编题)函数y＝x2＋4x＋3在[－1,0]上的最大值是__________，最小值是__________． [答案]　3　0 [解析]　y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，对称轴x＝－2在[－1,0]的左侧，所以函数在[－1,0]上单调递增．故当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝3；当x＝－1时，f(x)取最小值f(－1)＝0 . [解析]　作图像如图所示． ∵f(－1)＝f(1)＝－4， f(－2)＝－3， f(3)＝0，f(0)＝－3， ∴函数的最大值、最小值分别为0和－4，即函数的值域为[－4,0]． [例1]　已知二次函数f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为15； (3)f(x)＝0的两根立方和等于17. 求f(x)的解析式． [分析]　从所给条件f(1＋x)＝f(1－x)知，f(x)的图像关于直线x＝1对称，又f(x)的最大值为15，可设f(x)＝a(x－1)2＋15，其中a0，问题转化为利用条件(3)：方程f(x)＝0的两根x1，x2有x13＋x23＝17，求出系数a. [点评]　求二次函数解析式的问题一般用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式．本题解答中，注意沟通a与x1、x2之间的关系． 已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝1和f(x＋1)－f(x)＝2x. (1)求f(x)； (2)求f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值． [解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1可知c＝1. 而f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b. 由已知f(x＋1)－f(x)＝2x，可得 2a＝2，a＋b＝0.因而a＝1，b＝－1. 故f(x)＝x2－x＋1. [例2]　设函数f(x)＝x2－2x－1在区间[t，t＋1]上有最小值g(t)，求g(t)的解析式． [解析]　f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2 (1)当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，g(t)＝－2. (2)当t1时，f(x)在区间[t，t＋1]上是增函数，则最小值g(t)＝f(t)＝t2－2t－1； [点评]　二次函数在闭区间上的最值问题，关键是判断对称轴与区间的关系，当二者关系不确定时，要进行分类讨论，一般的讨论分为三种情况． 已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．