3-2走向高考数学章节.ppt

考纲解读 1．了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题． 考向预测 1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的最优化问题，已成为近几年高考炙手可热的考点. 2．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题． 知识梳理 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)为 ； f′(x)≤0?f(x)为 ． 2．函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧 ，右侧 ，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程 的根； ③检查f′(x)在方程 的根左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 ． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则 为函数的最小值， 为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则 为函数的最大值， 为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的 ； ②将f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． A．①②　　　 B．③④　　　 C．①③　　　 D．①④ [答案]　B [解析]　对于③，f(x)在原点附近为增函数，∴f′(x)0，而图像中当x0时，f′(x)0，∴③一定不正确；对于④，同理，导函数开始应在x轴上方，④一定不正确，故选B. 2．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　) [答案]　A [解析]　f′(x)＝3x2－2px－q 由f′(1)＝0，f(1)＝0得 3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　) A．a－1 B．a－1 [答案]　A 4．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　) [答案]　D [解析]　y′＝3ax2－1， ∵函数y＝ax3－x在R上是减函数， ∴3ax2－1≤0在R上恒成立，∴a≤0. 5．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________． [答案]　(－1,11) [解析]　本题主要考查求导公式和单调区间． f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)， 由(x－11)(x＋1)0得－1x11 ∴f(x)的单调减区间为(－1,11)． [解析]　本题主要考查了导数在实际问题中的应用，求解的关键在于根据条件正确地建立目标函数，进而利用导数工具求函数的最值，重点考查了考生的建模能力和运算能力． 如图，设AD＝x(0x1)，则DE＝AD＝x， ∴梯形的周长为x＋2(1－x)＋1＝3－x， 7．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1. (1)试求常数a、b、c的值； (2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由． [解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， ∵x＝±1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导． ∴x＝±1使方程f′(x)＝0， 即为3ax2＋2bx＋c＝0的两根， 当x1或x－1时，f′(x)0， 当－1x1时，f′(x)0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上为增函数，在(－1,1)上为减函数， ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1； 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. [例1]　已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由； (3)证明：f(x)＝x3－ax－1的图像不可能总在直线y＝a的上方． [分析]　(1)求f′(x)转化成恒成立问题． (2)假设