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考纲解读 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 考向预测 1.以考查线性目标函数的最值为重点,并同时考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等). 2.主要以选择题和填空题的形式考查线性规划,以中、低档题为主,出现在解答题中常与实际问题相联系. 知识梳理 1.二元一次不等式(组)表示平面区域 作二元一次不等式ax+by+c>0(或ax+by+c<0)表示的平面区域的方法步骤: (1)在平面直角坐标系中作出直线ax+by+c=0. (2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当c≠0时,常把 作为此特殊点. (3)若ax0+by0+c>0,则包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式 所表示的平面区域. 2.线性规划的有关概念 (1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组. (2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式. (3)线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题. (4)可行解:满足 的解(x,y). (5)可行域:所有 组成的集合. (6)最优解:使 取得最大值或最小值的可行解. 3.在约束条件下,当b>0时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可行域; (2)作出直线l0:ax+by=0; (3)确定l0的平移方向,依可行域判断取得最优解的点; (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最小值或最大值. 4.线性规划实质上是“ ”数学思想方法在一个方面的体现,将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来,是一种较快地求最值的方法. 5.在求解应用问题时要特别注意题意中的 ,不可将范围盲目扩大. 6.二元一次不等式表示平面区域的快速判断法 主要看不等号与B的符号是否同向,若同向则在直线上方,若异向则在直线下方,简记为“同上异下”,这叫B值判断法. 一般地说,直线不过原点时用原点判断法或B值判断法,直线过原点时用B值判断法或用(1,0)点判断. 注意:画不等式Ax+By+C≥0(或Ax+By+C≤0)所表示的平面区域时,区域包括边界直线Ax+By+C=0上的点,因此应将其画为实线.把等号去掉,则直线为虚线. [答案] B [解析] 画出可行域(如图),由图可知,当直线l经过点A(1,-1)时,z最大,且最大值为zmax=1-2×(-1)=3. [答案] B [解析] B 本题主要考查线性规划,求目标函数的最值. 不等式组表示的可行域如图所示: 画出l0:x+2y=0 平行移动l0到l的位置, 当l通过M时,z能取到最小值. 此时M(1,1),即zmin=3. [答案] A [解析] 由点P、Q关于直线x+y=0对称说明直线y=kx+1与x+y=0垂直.∴k=1, [答案] B 5.(2010·陕西理)铁矿石A和B的含铁率为a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c,如下表: 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为________(百万元). [答案] 15万元 [答案] 5 [解析] 画出可行域如下图所示, 可见可行域中的点A(1,2)到原点距离最小为d=,∴x2+y2≥5. [点评] 考查线性规划的基本知识和转化的思想,关键是形式联想,由x2+y2想到点P(x,y)到原点的距离的平方. [分析] (1)用特殊点,如原点确定不等式表示的平面区域; (2)分别画出每个不等式所表示的平面区域,然后取其公共部分. [解析] (1)先画直线3x+2y+6=0(画成虚线),取原点(0,0)代入, ∵3×0+2×0+60, ∴(0,0)在3x+2y+60表示的平面区域内,如图所示. (2)不等式x3表示x=3左侧点的集合,不等式2y≥x表示x-2y=0上及其左上方点的集合.不等式3x+2y≥6表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合. 不等式3yx+9表示直线3y-x-9=0右下方点的集 合.综上可得:不等式组表示的平面区域如图所示. [解析] 由图形知,要使平面区域为三角形,只需直线l:x+y=a在l1、l2之间或在l3上方. [答案] D [分析] 画出可行域,根据图形判断其可行域是什么图形,再根据相应的公式求解. [答案] 9 [点评] 在画可行域时,确定不等式表示的区域是在直线的上方还是下方,一个最直接的方法就是在直线的一边任取一点代入检验即可. [答案] C [解
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