7-7走向高考数学章节.ppt

考纲解读 1．了解数学归纳法的原理； 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 考向预测 1．归纳——猜想——证明将是2012年高考热点； 2．与函数、不等式等知识交汇命题． 知识梳理 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)验证： 时，命题成立； (2)在假设 时，命题成立的前提下，推出 时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 基础自测 1．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推知n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(　　) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案]　C [解析]　若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立，可推得若n＝k＋1时命题不成立可推得n＝k(k∈N*)时命题不成立，所以答案为C. 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成(　　) A．假设当n＝k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 B．假设当n＝2k(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，xn＋yn能被x＋y整除 [答案]　D [解析]　①显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除 ②假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时， x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1 ＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 ∵x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1) 又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1 ∴(x＋y)能整除(x2k＋1＋y2k＋1) 由(1)(2)可知当n为正奇数时xn＋yn能被x＋y整除． [答案]　B [解析]　由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π. 4．欲用数学归纳法证明2n＞n2，n的第一个取值应是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．5　　　　D．6　　　　 [答案]　C [解析]　∵21＞12,22＝22,23＜32,24＝42,25＞52,26＞62， ∴n的第一个数应是5. [答案]　11 6．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，n＝1时的原式是________，从k到k＋1时需添加的项是__________． [答案]　1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 [点评]　(1)在用数学归纳法证明恒等式时，P(k＋1)中未必一定明显地含有归纳假设P(k)，有时还需要添项、拆项、重新组合，从中拼凑出P(k)来． (2)第二步的归纳假设起着“已知条件”的作用，故在n＝k＋1时的变形中应设法运用它． 设a0为常数，且an＝3n－1－2an－1(n∈N＋)．证明：对任意n≥1，都有an＝[3n＋(－1)n－1·2n]＋(－1)n·2na0. [分析]　有关正整数的恒等式证明可以用数学归纳法． [点评]　在数学归纳法证明的第二步中，要比较归纳假设与目标式之间的差异，用配方法变形得出结论. [例2]　(1)求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*) (2)是否存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论，若不存在说明理由． [解析]　(1)证明　①当n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除． ②假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1 ＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可知，ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立， 由①②可知，对n∈N*原命题成立． (2)由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36.f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜