8-8走向高考数学章节.ppt

考纲解读 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 2．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 3．能用向量方法解决直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何中的作用． 考向预测 1．空间向量的数量积及其坐标运算，是高考考查的重点，多以选择、填空题为主． 2．利用空间向量证明或判断线面平行、垂直问题． 3．利用空间向量求空间角、空间距离是重中之重，多以解答题形式出现． 知识梳理 1．平面的法向量 (1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 个，它们是 向量． (2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 确定的． 2．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用 (2)直线与平面的夹角 ①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的投影的夹角． (3)二面角 ①二面角的取值范围是 ． ②二面角的向量求法： (ⅰ)若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图①)． (ⅱ)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 基础自测 1．(2010·江西理)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　) A．1条　　　　　　　　　B．2条 C．3条 D．4条 [答案]　D [解析]　如图，连接AC1，可知AC1与三边AB，AD，AA1所成角相等，由对称性知，另有3条直线过A且与三边所成角相等．故选D. 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　) A．2 B．－4 C．4 D．－2 [答案]　C [解析]　∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)． ∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4. 3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　) A．45°　　　　　B．60° C．90°　　　　　D．120° [答案]　B 4．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° [答案]　C 5．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于________． [答案]　2 6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________． 7．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点． (1)求证：DE∥平面ABC； (2)求证：B1F⊥平面AEF. [分析]　可用向量法建立空间直角坐标系，用向量的坐标运算来解决，也可利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理． 　　[例1]　如图，三棱柱 ABC—A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点．证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C. [分析]　要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直．转化为求两个平面的法向量n1，n2，证明n1·n2＝0. [点评]　(1)证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直． (2)立体几何中的向量方法——“三步曲”． ①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题． ②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系． ③根据运算结果的几何意义来解释相关问题． [例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. [点评]　用向量法证明线面平行．可结合题设条件利用共线向量定理或共面向量定理证明．要注意说明直线在平面外；也可利用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证． 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是BB1、