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2008届全国高考数学模拟试题分类汇编、ABCD-A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F分别是线段AB、BC上的点,且EB= FB=1.
(1)求直线EC1与FD1所成角的余弦值;
(2)求二面角C-DE-C1的平面角的正切值.
解:以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的
正向建立空间直角坐标系A-xyz,则有D(0,3,0)D1(0,3,2)E(3,0,0)F(4,1,0)C1(4,3,2),.
(1)设EC1与FD1所成角为(,则.
(2)设向量与平面C1DE垂直,则有
.
∴其中z>0.
取n0=(-1,-1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量.
∵向量=(0,0,2)与平面CDE垂直,
∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角.
∵,∴.
77、(江苏省泰兴市2007—2008学年第一学期高调研PDCB中(如图1),PB=3,DC=1,PB=BC=,A为PB边上一点,且PA=1,将△PAD沿AD折起,使面PAD⊥面ABCD(如图2).
(Ⅰ)证明:平面PAD⊥PCD;
(Ⅱ)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC
把几何体分成的两部分;
(Ⅲ)在M满足(Ⅱ)的情况下,判断直线PD
是否平行面AMC.
(I)证明:依题意知:
…………2分
…4分
(II)由(I)知平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD. …………5分
在PB上取一点M,作MN⊥AB,则MN⊥平面ABCD,
设MN=h
则
…………8分
要使
即M为PB的中点. …………10分
(Ⅲ)连接BD交AC于O,因为AB//CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD
∴O不是BD的中心……………………10分
又∵M为PB的中点
∴在△PBD中,OM与PD不平行
∴OM所以直线与PD所在直线相交
又OM平面AMC
∴直线PD与平面AMC不平行.……………………15分
78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)如图已知在三棱柱ABC——A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.
(1)求证:面PCC1⊥面MNQ;
(2)求证:PC1∥面MNQ.主要得分步骤:(1)AB⊥面PCC1; 4′
MN∥AB,故MN⊥面MNQ
MN在平面MNQ内,∴面PCC1⊥面MNQ;′
(2)连AC1、BC1,BC1∥NQ,AB∥MN
面ABC1∥面MNQ 11′
PC1在面ABC1内.
∴PC1∥面MNQ. 13′
79、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求到平面的距离;
(Ⅲ)求二面角的大小.
解法:(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,
又,∴平面, 得,又,
∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,
又为中点,知∴.取中点,则
平面,从而面面,…………6分
过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分
(Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分
在中,,故二面角的大小为.
…………………12分
解法:(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,
又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分
则,,,,,,
,,由,知,
又,从而平面.…………………4分
(Ⅱ)由,得.设平面的法向量
为,,,,
设,则.…………6分
∴点到平面的距离.…………………8分
(Ⅲ)设面的法向量为,,,
∴.…………10分
设,则,故,根据法向量的方向
可知二面角的大小为.…………………12分
80、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB中点,截面DAN交PC于M.
(Ⅰ)求PB与平面ABCD所成角的大小;
(Ⅱ)求证:PB⊥平面ADMN;
(Ⅲ)求以AD为棱,PAD与ADMN为面的二面角的大小.
(I)解:取AD中点O,连结PO,BO.
△PAD是正三角形,所以PO⊥AD,…………1分
又因为平面PAD⊥平面ABCD,
所以,PO⊥平面ABCD, …………3分
BO为PB在平面ABCD上的射影,
所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.…………4分
由已知△ABD为等边三角形,所以PO=B
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