2012新高考全案 第2章 函数与基本的初等函数 第4讲 函数的奇偶性及周期性.ppt

1．奇函数、偶函数定义 (1)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ；即互为相反数的两个自变量值对应的函数值互为相反数，那么函数f(x)就叫做奇函数． (2)如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，即互为相反数的两个自变量值对应的函数值相等．那么函数f(x)就叫做偶函数． 2．奇函数和偶函数的性质 (1)奇函数图象关于 对称；偶函数图象关于 对称． (2)偶函数在区间(a，b)上递增(减)，则在(－b，－a)上 ，奇函数在区间(a，b)与(－b，－a)上的增减性 ． 4．周期函数定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，T为函数的一个周期． 1．(2010·广东)若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 [解析]　f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)． [答案]　B [答案]　C 3．(2010·山东)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　) A．3 B．1 C．－1 D．－3 [解析]　因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，可求得b＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2＋b)＝－3.故选D. [答案]　D (4)当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)． ∴对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数． (5)函数的定义域为R. 当a＝0时，f(x)＝x2－|x|＋1.有f(－x)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． 当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2－2|a|＋1. f(a)≠f(－a)． 且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋1) [点评与警示]　判断函数的奇偶性，应首先求出函数的定义域，并视定义域是否关于原点对称．只有定义域关于原点对称，才有验证是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)的必要． 　已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间[0,1)上是增函数，若有不等式f(a－2)－f(3－a)0成立．求实数a的取值范围． [点评与警示]　本例题的求解过程中，既要利用函数的奇偶性，又要利用函数的单调性．求解此类问题的一般思路有两条：一是就a－2与3－a的符号进行分类讨论(过程繁琐)；二是利用偶函数的性质f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．而得到“|x1||x2|?f(x1)f(x2)”． 已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且在区间(－1,0]上是减函数，若有不等式f(a－2)－f(a－3)＜0成立，求实数a的取值范围． [分析]　(1)通过建立方程，求出a、b的值．确定f(x)的解析式．(3)利用函数的单调性脱掉“f”． [点评与警示]　(1)如果一个奇函数在x＝0处有定义．那么f(0)＝0. (2)解不等式f(t－1)＋f(t)0时，注意函数定义域对t的限制． 　已知奇函数f(x)定义在R上，其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)当x∈[－1,0)时，求f(x)的表达式； (2)证明f(x)是周期函数，并求出它的一个周期； (3)当x∈[4,5]时，求f(x)． [解]　(1)当－1≤x0时．－x∈(0,1]，而f(－x)＝2－x－1，且f(x)是奇函数．所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1. (2)因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)＝ f(2－x)，用－x替换x，就有f(－x)＝f(2＋x)．由f(x)是奇函数得f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，进而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．可知f(x)是周期函数，4是它的一个周期． (3)当4≤x≤5时，0≤x－4≤1.所以f(x－4)＝2x－4－1. 而f(x－4)＝f(x)，所以f(x)＝2x－4－1(x∈[4,5])为所求． [点评与警示]　(1)已知奇函数f(x)的图象关于x＝a对称，则f(x)是周期函数，且4a为其中的一个周期；若偶函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则2a为其中的一个周期． (2)注