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2015年高考数学压轴题拔高精选
1、设函数在上存在导数,,有,在上,若,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设
因为对任意,
所以,=
所以,函数为奇函数;
又因为,在上,
所以,当时,
即函数在上为减函数,
因为函数为奇函数且在上存在导数,所以函数在上为减函数,
所以,
所以,
所以,实数的取值范围为
故选B.
2、设集合是实数集的子集,如果点满足:对任意,都存在,使得,那么称为集合的聚点,用表示整数集,下列四个集合:①,②,③,④整数集.其中以0为聚点的集合有()
A.①②B.②③C.①③D.②④
【答案】B
【解析】①集合中的元素是极限为1的数列,除了第一项0之外,其余的都至少比0大,∴在的时候,不存在满足的,∴0不是集合的聚点;
②集合,对任意的,都存在(实际上任意比小的数都可以),使得,∴0是集合的聚点;
③集合中的元素是极限为0的数列,对于任意的,存在,使,∴0是集合的聚点;
④对于某个,比如,此时对任意的,都有或者,也就是说不可能,从而0不是整数集的聚点.
综上可知B正确.
3、已知中,,,且,则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为,所以,
即可得,
因为可得,
设,所以有,
因为,可得,所以,
故答案为.
4、已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断,若存在常数,
使得对任意的实数x成立,则称f(x)是回旋函数.
给出下列四个命题:
①若f(x)为非零的常值函数,则其为回旋函数的充要条件是t=-1;
②若为回旋函数,则t>l;
③函数不是回旋函数;
④若f(x)是t=1的回旋函数,则f(x)在[0,2015]上至少有2015个零点.
其中为真命题的是_________(写出所有真命题的序号).
【答案】①③④
【解析】①利用回旋函数的定义即可.②若指数函数为阶数为t回旋函数,根据定义求解,得矛盾结论.③利用回旋函数的定义,令x=0,则必须有a=0;令x=1,则有,故可判断;.④由定义得到f(x+1)=-f(x),由零点存在定理得,在区间(x,x+1)上必有一个零点令,即可得到.
对于①函数f(x)=2为回旋函数,则由f(x+t)+tf(x)=0,得2+2t=0,∴t=-1,故结论正确;对于②,若指数函数为阶数为t回旋函数,则,∴结论不成立;对于③若对任意实数都成立,令x=0,则必须有a=0,令x=1,则有,显然a=0不是这个方程的解,故假设不成立,该函数不是回旋函数,故结论正确,对于④:若若f(x)是t=1的回旋函数,则f(x+1)+f(x)=0对任意的实数x都成立,即有f(x+1)=-f(x),则f(x+1)与f(x)异号,由零点存在定理得,在区间(x,x+1)上必有一个零点,可令,则函数f(x)在[0,1]上至少存在2015个零点.故结论正确故答案为:①③④.
5、以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数M,使得函数的值域包含于区间.例如,当.现有如下命题:
①设函数的定义域为D,则“”的充要条件是“”;
②函数的充要条件是有最大值和最小值;
③若函数,的定义域相同,且
④若函数有最大值,则.
其中的真命题有_____________.(写出所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】(1)对于命题①“”即函数值域为R,“,,”表示的是函数可以在R中任意取值,故有:设函数的定义域为D,则“”的充要条件是“,,”∴命题①是真命题;
(2)对于命题②若函数,即存在一个正数,使得函数的值域包含于区间.∴-≤≤.例如:函数满足-2<<5,则有-5≤≤5,此时,无最大值,无最小值.∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值.”是假命题;(3)对于命题③若函数,的定义域相同,且∈A,∈B,则值域为R,∈(-∞,+∞),并且存在一个正数M,使得-≤g(x)≤.∴+∈R.则+?B.∴命题③是真命题.(4)对于命题④∵函数(>-2,)有最大值,∴假设>0,当→时,→0,→,∴→,则→.与题意不符;假设<0,当→-2时,→,→,∴→,则→.与题意不符.∴=0.即函数=(>-2)当>0时,+≥2,∴≤,即0<≤;当=0时,=0;当<0时,+≤?2,∴?≤<0,即?≤<0.∴?≤≤.即.故命题④是真命题.故答案为①③④.
6、已知椭圆的离心率为,其左右焦点分别为、,,设点,是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线的斜率之积.(1)求椭圆的方程;(2)求证:为定值,并求该定值.
【答案】(1)(2)略
【解析】(1)依题意,,而,∴,,
则椭圆的方程为:;
(2)由于,则,
而,,则,,
∴,则,
,展开得为一定值.
7、设是椭圆的左焦点,直线l为其左准线,直线与轴交于点,线段为椭圆的长轴,已知
(1)求椭圆C的标
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