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§23.2 与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 看到过打靶用的靶子吗？靶子是由很多圆组成的，你知道击中靶子上不同位 置的成绩是如何算的吗？ 这一现象体现了平面内点与圆的位置关系． 我们已经知道圆上所有的点到圆心的距离都等于半径，如图23.2.1所示，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那 OA＜r， OB＝r， OC＞r． 在圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？ 试一试 如图23.2.2，画过A点的圆． 如图23.2.3，画过两点A、B的圆． 思 考 经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？ 如图23.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．即有 不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆（circumcircle）．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心（circumcenter）．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点． 练　习 任意画一个三角形，然后再画这个三角形的外接圆. 随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明. 2.直线与圆的位置关系 大家也许看过日出，如图23.2.5所示的照片中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线会有几种位置关系？ 试一试 在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？ 　　我们可以看到，直线与圆的位置关系有下面图23.2.6所示的三种． 如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图23.2.6（1）所示． 　　如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图23.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点． 　　如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图23.2.6（3）所示．此时这条直线叫做圆的割线． 　　直线与圆的位置关系只有相离、相切和相交三种． 　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，利用d与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系． 　　当d＞r时，如图23.2.6（1），圆心O到直线l的距离d大于半径r，因而直线l上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线l在圆的外部，与圆没有公共点，因此 　　 当d＞r时，直线与圆的位置关系是相离． 　　那么当d＝r时，直线与圆的位置关系是___________________， 　　当d＜r时，直线与圆的位置关系是___________________． 思 考 反过来，如果已知直线l与⊙O的位置关系分别是相离、相切和相交时，一定有d＞r、d＝r、d＜r吗？ 练　习 已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系. 已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆只有一个公共点，求圆心到直线l的距离. 如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系？ 3.切线 下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？ 这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况． 做一做 如图23.2.7，画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O 的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？ 从图23.2.7可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线l 是圆的切线． 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （tangent line）． 思 考 如图23.2.8，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半 径OA与l垂直吗？ 由于l是⊙O的切线，圆心O到直线l的距离等于半径，所以OA是圆心O到直线l的距离，因此l⊥OA，这就是说，圆的切线垂直于经过切点的半径． 　　例1　如图23.2.9，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？ 　　解 　直线AB是⊙O的切线． 　　因为AB＝OA，且∠