《名师伴你行》人教A版数学必修五第一章学案余弦定理.ppt

一样的软件 不一样的感觉 一样的教室 不一样的心情 一样的知识 不一样的收获 开始 学案2 余弦定理 学点一 学点二 学点三 学点四 学点五 返回目录 1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 c2= , b2= , a2= , 这个定理叫余弦定理. a2+b2-2abcosC a2+c2-2accosB b2+c2-2bccosA 返回目录 2.由余弦定理我们得 cosA= , cosB= , cosC= . 3.设a,b,c是△ABC的三内角A，B，C的对边，则 △ABC的面积 = = . 返回目录 学点一 解斜三角形 　　【分析】由条件知，均可用余弦定理. 　　【解析】 在△ABC中， （1）a=1,b=1,C=120°,求c; （2）a=3,b=4,c= ，求最大角； （3）a：b：c=1： ：2,求A，B，C. 返回目录 返回目录 　　【评析】（1）余弦定理可解两类三角形问题：一类是已知三边；另一类是已知两边及其夹角. （2）对于题中的第（3）小题，根据已知条件，设出三边的长，然后由余弦定理求解，是解题的关键，在求出角A后，也可用正弦定理求角B，但要注意讨论解的情况. 返回目录 根据下列条件解三角形. （1）b=8,c=3,A=60°; （2）a=20,b=29,c=21. 　　解：已知两边和夹角，已知三边解三角形，根据余弦定理来求. （1）根据余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA=82+32-2×8×3cos60°=64+9-24=49. ∴a=7,由推论得 返回目录 ∴C=22°, ∴B=180°-60°-22°=98°. （2）根据余弦定理的推论得 ∴B=90°,∴C=90°-44°=46°. 返回目录 学点二 余弦定理 　　【分析】由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a,b,c，再由余弦定理求解各角. 已知△ABC中,a∶b∶c=2∶ ∶( +1),求△ABC的各角度数. 　　【解析】∵a∶b∶c=2∶　∶(　 +1), 　　∴令a=2k,b= k,c=( +1)k. 　　由余弦定理，有 返回目录 ∴A=45°. ∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 　　【评析】根据问题给出的条件a∶b∶c=2∶ ∶( +1)， 设a=2k,b= k,c=( +1)k，为使用余弦定理求角创造条件，这是解答本题的关键一步；在已知三边，求三个角时，一般先求小角，后求大角. 返回目录 在△ABC中， （1）若sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,求角A； （2）若sinA∶sinB∶sinC=( -1)∶( +1)∶ ,求最大 内角. 　　解:（1）∵sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC, 由正弦定理，得 　　∴a2=b2+c2+bc，即b2+c2-a2=-bc. 　　∴cosA= 　　∴A=120°. 返回目录 （2）由已知有 设a=(　 -1)k，b=( +1)k,c= k, ∵ -1 +1 , ∴C为最大角. ∴cosC= ∴最大内角C=120°. 返回目录 学点三 余弦定理的简单应用 在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosB·cosC，试判断 三角形的形状. 　　【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解. 　　【解析】解法一: 由正弦定理 , R为△ABC外接圆的半径,将原式化为8R2sin2Bsin2C=8R2 sinBsinCcosBcosC. ∵sinBsinC≠0,sinBsinC=cosBcosC, 即cos(B+C)=0,∴B+C=90°,A=90°. 故△ABC为直角三角形. 返回目录 　　【评析】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a,b,c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化. 解法二:将已知等式变为 b2(1-cos2C)+c