matlab常微分方程和常微分方程组的求解.docVIP

常微分方程和常微分方程组的求解 ? 一、实验目的： 熟悉Matlab软件中关于求解常微分方程和常微分方程组的各种命令，掌握利用Matlab软件进行常微分方程和常微分方程组的求解。 ? 二、相关知识 在MATLAB中，由函数dsolve()解决常微分方程（组）的求解问题，其具体格式如下： X=dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,…) 函数dsolve用来解符号常微分方程、方程组，如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解。 例1：求解常微分方程的MATLAB程序为：dsolve(Dy=1/(x+y),x)，注意，系统缺省的自变量为t，因此这里要把自变量写明。 结果为：-lambertw(-C1*exp(-x-1))-x-1 其中：Y=lambertw(X)表示函数关系Y*exp(Y)=X。 例2：求解常微分方程的MATLAB程序为：Y2=dsolve(y*D2y-Dy^2=0’,’x’) 结果为： Y2 =[ exp((x+C2)/C1)] [ C2] 我们看到有两个解，其中一个是常数。 例3：求常微分方程组通解的MATLAB程序为： [X,Y]=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=exp(2*t),t) 例4：求常微分方程组通解的MATLAB程序为： [X,Y]=dsolve(Dx+2*x-Dy=10*cos(t),Dx+Dy+2*y=4*exp(-2*t),x(0)=2,y(0)=0) 以上这些都是常微分方程的精确解法，也称为常微分方程的符号解。但是，我们知道，有大量的常微分方程虽然从理论上讲，其解是存在的，但我们却无法求出其解析解，此时，我们需要寻求方程的数值解，在求常微分方程数值解方面，MATLAB具有丰富的函数，我们将其统称为solver，其一般格式为： [T,Y]=solver(odefun,tspan,y0) 该函数表示在区间tspan=[t0,tf]上，用初始条件y0求解显式常微分方程。 solver为命令ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb之一，这些命令各有特点。我们列表说明如下： 求解器 ODE类型 特点 说明 ode45 非刚性 一步算法，4,5阶Runge-Kutta 方法累积截断误差 大部分场合的首选算法 ode23 非刚性 一步算法，2,3阶Runge-Kutta 方法累积截断误差 使用于精度较低的情形 ode113 非刚性 多步法，Adams算法，高低精度均可达到 计算时间比ode45短 ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性情形 ode15s 刚性 多步法，Gear’s反向 数值积分，精度中等 若ode45失效时， 可尝试使用 ode23s 刚性 一步法，2阶Rosebrock算法， 低精度。 当精度较低时， 计算时间比ode15s短 odefun为显式常微分方程中的 tspan为求解区间，要获得问题在其他指定点上的解，则令（要求单调）， y0初始条件。 例5：求解常微分方程，，的MATLAB程序如下：fun=inline(-2*y+2*x*x+2*x)；[x,y]=ode23(fun,[0,0.5],1) 结果为： x = 0,0.0400,0.0900,0.1400,0.1900,0.2400,0.2900,0.3400,0.3900,0.4400,0.4900,0.5000 y = 1.0000,0.9247,0.8434,0.7754,0.7199,0.6764,0.6440,0.6222,0.6105,0.6084,0.6154,0.6179 例6：求解常微分方程的解，并画出解的图形。 分析：这是一个二阶非线性方程，用现成的方法均不能求解，但我们可以通过下面的变换，将二阶方程化为一阶方程组，即可求解。 令：，，，则得到： 接着，编写vdp.m如下： function fy=vdp(t,x) fy=[x(2);7*(1-x(1)^2)*x(2)-x(1)]; 再编写m文件sy12_6.m如下： y0=[1;0] [t,x]=ode45(@vdp,[0,40],y0); y=x(:,1);dy=x(:,2); plot(t,y,t,dy) ? ? 三、实验内容 1．利用MATLAB求常微分方程的初值问题，的解。 2．利用MATLAB求常微分方程的初值问题，，的解。 3．利用MATLAB求常微分方程的解。 4．利用MATLAB求常微分方程组的特解。 5．求解常微分方程，，，的特解，并做出解函数的曲线图。 6．完成实验报告。