破解含参不等式恒成立的5种常用方法.doc

破解含参不等式恒成立的5种常用方法 含参数不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐，且由于对导数应用的加强，这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起，在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势。对含有参数的不等式 恒成立问题，破解的方法有：分离参数法、数形结合法、单调性分析法、最值定位法、构造函数法等。 一 分离参数法 分离参数法是解决含问题的基本思想之一。对于含参不等式的问题，在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等 式的性质将参数分离出来 ，得到一个一端是参数、另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性式就可以解决问题。 已知函数在（－∞，1］上有意义，试求的取值范围。 分析 ：函数在（－∞，1］上有意义，等价于在区间（－∞，1］上恒成立，这里参数的系数，故可以分离参数。 解析：函数在（－∞，1］上有意义，等价于在区间（－∞，1］上恒成立，即，（－∞，1］恒成立，记，（－∞，1］，因此问题又等价于在上恒成立，在（－∞，1］上是增函数，因此的最大值为。在（－∞，1］上恒成等价于。于是工的取值范围为。 【点评】恒成立等价于；恒成立等价于。如果函数不存在最值，上面的最大值就替换为函数值域的右端点，最小值就替换为函数值域的左端点。解这类问题时一定要注意区间的端点值。 二 数形结合法 数形到结合法是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”，从而达到解决问题的目的，数形结合法是破解含参数不等式恒成立问题的又一个主要方案。 当时，不等式恒成立，求的取值范围。 分析：设，问题就等价于函数的图象在区间（1，2）上的部分位于轴上方，结合二次函数的图象，根据二次函数的性质就可以列出所满足的不等式关系。 解析：设，因为当时，不等式恒成立，即等价于在区间（1，2）时，函数的图象位于轴上方。函数的图象的对称轴方程是＝ 当，即时，在区间（1，2）上单调递增，只要、即可，得与取交偏大得； 当，即－4＜同＜－2时，只要即可，由时得—4与取交集得。 当即时，在区间（1，2）上单调递递减，只要即可，得，与取交集得。 综合（1）（2）（3），得。 【点评】二重要的次函数在指定区间上的性质是我们解决这个问题的理论根据，它也是高中阶段最重要的一个问题，望考生充分重视二次函数在高中数学中的应用。 三．单调性分析法 对于不等号一边的表达式，如果是二次函数，可以通过数开结合讨论函数的单调性，根据单调性找到函数值变化情况，但对于较为复杂的函数，只通过数形结合已经不能确定函数的变化情况，在这类中，就要借助导数，分析函数的单调性，通过单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数满足的不等式。 例3.已知函数。若在区间[]上，恒成立，求a的取值范围。 解析：令，解得，以下分两种情况讨论： 若则，当变化时， 的变化情况如下表 （-，0） 0 （0，） + 0 － ↗ 极大值 ↘ 当[]时，