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第3章 连续信号的频域分析 华侨大学机电及自动化学院 本章主要内容 3.1 周期信号的频谱分析 3.2 非周期信号的频谱分析 3.3 傅里叶变换的性质及其应用 3.1 周期信号的频谱分析 3.1 周期信号的频谱分析 周期信号频谱分析的常用工具 傅里叶三角级数 傅里叶复指数级数 作用： 将复杂周期信号表示成一系列简谐信号的代数和 将信号化为幅值随频率的变化关系 反映信号的频率结构 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式 3.1.1 周期信号傅里叶三角级数展开式 傅里叶三角级数小结 an是偶函数，bn是奇函数； An是偶函数，φn是奇函数 An与φn总称为频谱——反映信号的频率结构 An 称为幅频特性——反映各谐波分量的幅值 φn称为相频特性——反映谐波的相位 3.1.2 周期信号傅里叶复指数级数展开式 式中 称为傅里叶系数，计算： 傅里叶复指数小结 3.1.3 周期信号的频谱 引例 (Page 27) 周期信号的频谱的特点 离散性：谱线不连续 谐波性：谱线只出现在基频的整数倍处 收敛性：幅频特性幅度随谐波数增大而逐渐减小 周期信号由无穷多个余弦分量组成 周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值 相频谱线大小表示谐波分量的相位 3.1.4 周期信号的功率谱 将信号x(t)视为加在1电阻上的电压，则电阻消耗的平均功率P： 结论 P——称为周期信号的功率谱 周期信号的平均功率谱等于其直流以及各谐波分量的平均功率之和; 功率谱反映周期信号各次谐波功率的分配关系； 周期信号在时域的平均功率等于其频域的平均功率。 3.2 非周期信号的频谱分析 思路 非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号 令T?∞，对周期信号的傅里叶级数进行推广 非周期信号频谱必定有别于周期信号的频谱。 3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 从傅里叶级数到傅里叶变换 从傅里叶级数到傅里叶变换 周期信号x(t)的傅里叶复指数级数为： 非周期信号频谱的特点 【结论】： 非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号是振幅为无穷小、频率为 0～∞的一切余弦分量的线性组合——频谱密度函数 非周期信号频谱的表示方式 一般情况下，X(ω)为复数 3.2.2 常见非奇异信号的频谱 频谱特点 最大值＝矩形窗面积 Eτ； 零点坐标＝2nπ÷窗宽； 带宽(第一零点)＝2π÷窗宽； 周期＝4π÷窗宽； 窗宽×脉冲宽度＝2π 矩形脉冲信号频谱周期矩形脉冲信号频谱 ③ 双边指数信号 ④ 双边奇指数信号 频谱图 3.2.3 奇异信号的频谱 推导 傅里叶变换对 频谱图解 3.2.4 周期信号的傅里叶变换 ① 复指数信号 的傅里叶变换 ② 正弦 信号的傅里叶变换 ③ 余弦 信号的傅里叶变换 ④ 一般周期信号的傅里叶变换 单脉冲FT、周期脉冲FS、周期脉冲FT之间的关系 3.3 傅里叶变换的性质 ② 奇偶性 ② 奇偶性 由傅里叶变化的定义： ② 奇偶性 |X(ω)|为偶函数 φ(ω)为奇函数 当x(t)为实偶函数时： Im(ω)＝0；? X(ω)=Re(ω) 实偶; 当x(t)为虚偶函数时： Im(ω)＝0；? X(ω)=j·Re(ω) 虚偶; 当x(t)为实奇函数时： Re(ω)＝0；? X(ω)=j·Im(ω) 虚奇; 当x(t)为虚奇函数时： Re(ω)＝0；? X(ω)=Im(ω) 实奇; ④ 尺度变换性质 ⑥ 频移特性 说明 应用 ⑦ 时域微分 ⑧ 时域积分性质 ⑨ 帕斯瓦尔(Parseval)定理 特点 ⑩ 卷积定理 ⑩ 卷积定理 卷积定理的应用 本章小结 周期信号频谱的求取方法 周期信号频谱的特点 非周期信号频谱的求取方法 非周期信号频谱的特点 单脉冲信号与周期脉冲信号频谱的关系 周期信号傅里叶变换与傅里叶级数的关系 典型信号的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质 本章作业 频谱 傅里叶变换 傅里叶级数 冲激序列 傅里叶变换具有唯一性； 傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于： 了解特性的内在联系； 简化傅里叶变换的求取过程。 意义 主要性质 线性性质 奇偶性 对偶性质 尺度变换性质 时移特性 频移特性 微分性质 时域积分性质 帕斯瓦尔定理 卷积定理 ① 线性性质 例：单位阶跃信号的频谱 可直接用定义证明！ 由定义 证明： 取共轭得： x(t)为实函数时 共轭