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第四章 频率特性分析 机械振动与频率特性 　在机械工程中，机械振动与频率特性有密切的关系。机械受到一定频率的作用力时产生强迫振动，由于内反馈还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统 在频率域中表现的特性。频域法能简便而清晰地建立这些概念。 §4-1 频率特性基本概念 一. 概念 频率响应：系统对正弦信号（或谐波信号）的稳态响应。 线性定常系统对于正弦信号的响应也和其他典型信号响应一样，包含瞬态响应和稳态响应，其瞬态部分不是正弦波形，稳态部分是和输入正弦信号频率相同的正弦波形，但是振幅及相位都与输入量不同。 例题4－1： 机械系统如图，k为弹簧刚度系数， 单位N∕m，c是阻尼系数，单位 m/s·N，当输入正弦力f(t)=Fsinωt 求其位移x(t)的稳态输出。式中F是力的振幅，单位N. 解：该系统的传递函数为 位移输出x(t)的拉氏变换为 取拉氏反变换加以整理可得到位移输出x(t) 右边第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量。 随时间t ， 瞬态分量衰减为零，所以稳态位移 输出为 式中X=A(ω)F为位移的振幅， 二、 频率特性及其求法 1.定义： 频率特性就是指线性系统或环节在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。又称正弦传递函数。频率特性是个复数，可分别用幅值和相角来表示。 频率特性一般可通过以下三种方法得到: (1)　根据已知系统的微分方程或传递函数，把输入以正弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分量和输入正弦函数的复数之比即得。 (2)　根据传递函数来求取。 (3)　通过实验测得。 （二）系统频率特性常用的图解形式 1.　幅相频率特性（奈奎斯特图） 在复平面上，随ω(0 ~∞)的变化，向量G(jω)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。 易知，向量G( jω)的长度等于A(ω)，即|G(jω)|；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(jω)方向的角度等于φ(ω)，即∠G(jω)。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过的角度为正，顺时针转过的角度为负。 四、频率特性物理意义和数学本质 G(jω)的物理意义：　（P65） (1) 频率特性表示了系统对不同频率的正弦信号的“复观能力”或“跟踪能力”。在频率较低时，输入信号基本上可以按原比例在输出端复现出来，而在频率较高时，输入信号就被抑制而不能传递出去。对于实际的系统，虽然形式不同，但一般均有“低通”滤波及相位滞后作用。 (2) 频率特性随频率而变化，是因为系统含有储能元件。它们在能量交换时，对不同的ω信号使系统显示出不同的特性。 (3) 频率特性反映系统本身的特点，系统元件的参数给定后，频率特性就完全确定，系统随ω变化的规律也就完全确定。就是说，系统具有什么样的频率特性，取决于系统结构本身，与外界因素无关。 四、频率特性物理意义和数学本质 G(jω)的数学本质仍然是表达系统运动关系的数学模型。从不同的角度来揭示出系统的内在运动规律是统一。 在经典控制理论中，频率特性分析比时间响应分析具有明显的优越性。 频率特性分析法也有其缺点：由于实际系统往往存在非线性，在机械工程中尤其如此，因此，即使能给出准确的输入谐波信号，系统的输出也常常不是一个严格的谐波信号，这使得建立在严格谐波信号基础上的频率特性分析与实际的情况之间有一定的距离，也就是使频率特性分析产生误差． 另外，频率特性分析难应用于时变系统和多输入—多输出系统，对系统的在线识别也可说是相当困难的；当然，为克服此困难，目前这方面研究是很有进展。 §4-2 典型环节的幅相频率特性 7. 二阶微分环节 二阶微分环节的Nyquist图 由以上各例可知，系统的频率特性为： 4. 惯性环节(G(s)=1/(Ts+1)) 6. 振荡环节 振荡环节的对数幅频特性的误差修正曲线 由图可见，当ξ较小时，由于在ω= ωn 附近存在谐振，幅频特性渐近线与实际特性存在较大的误差，ξ 越小，误差越大。当0.38 ξ0.7 时， 误差不超过3dB 。因此，在此ξ 范围内，可直接使用渐近对数幅频特性，而在此范围之外，应使用准确的对数幅频曲线。准确的对数幅频曲线可在渐近线的基础上，通过误差曲线修正而获得或直接计算。 典型环节的Bode图 典型环节的Bode图 典型环节的Bode图 典型环节Bode图比较： 关于对数幅频特性(注意横坐标): 积分环节为过点(1,0)、斜率为-20dB/dec的直线； 微分环节为过点(1,0)、斜率为20dB/dec的直线；