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第3章 土体中的应力计算 3.1 概 述 3.1.1 土中应力计算的基本假定和方法 3.3.3 基底附加应力的计算 概念：作用在基础底面的压力与该处原来的自重应力之差。 计算公式： p0=p??sz=p??0d ? 0—基底以上土的重度； d—基底埋深 基坑开挖 图 3-12 直角坐标表示 进行积分： 表3-2 z=3m处水平面上竖应力计算 例题3-2 土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度z=3m处水平面上的竖向法向应力?z分布，以及距F作用点r=1m处竖直面上的竖向法向应力?z分布。 r(m) 0 1 2 3 4 5 r/z 0 0.33 0.67 1 1.33 1.67 ? 0.478 0.369 0.189 0.084 0.038 0.017 ?z(kPa) 10.6 8.2 4.2 1.9 0.8 0.4 [解] 列表计算见表3-2和3-3。 表3-3 r=1m处竖直面上竖应力?z的计算 z(m) 0 1 2 3 4 5 6 r/z ? 1 0.5 0.33 0.25 0.20 0.17 ? 0 0.084 0.273 0.369 0.410 0.433 0.444 ?z(kPa) 0 16.8 13.7 8.2 5.1 3.5 2.5 图3-14 土中应力分布 规律分析： （1）集中力作用线上最大. （2）随着r的增加而逐渐减小。 （3）集中力作用点处为奇异点。 （4）作用有多个集中力时，可叠加。 3.5分布荷载作用下土中应力计算 （1）空间问题 应力与计算点处的坐标(x, y, z)有关。 （如l/b? 10的基础） （2）平面问题 应力与计算点处的坐标(x, z)有关。 （如l/b? 10的基础、路堤、土坝） 3.5.1空间问题的附加应力 (1) 矩形面积均布荷载 a) 矩形面积角点下 在基底范围内取单元面积dA=dxdy 单元面积上分布荷载看作是集中力dF=pdxdy 集中力在M点处的竖向附加应力为： 可由表5-3查得 这里n=l/b，m=z/b 注意：l为长边，b为短边。 b) 土中任意点的计算（角点法） 情况1：投影A点在矩形面积范围之内 ?z=?z(aeAh)+ ?z(ebfA)+?z(hAgd)+? z(Afcg) 图3-19 角点法示意图 为什么可以叠加？ 情况2：投影A点在矩形面积范围之外 ?z=?z(aeAh)?? z(beAg) ?? z(dfAh)+? z(cfAg) 图3-19 角点法示意图 求 M 点应力： 例题3-3 解 （1）M点竖向应力 图3-20 例题3-3图 将面积abcd通过中心O划成4个相等小矩形 按角点法进行计算: 考虑矩形面积afOe, 已知l1/b1 =3/2=1.5，z/b1=8/2=4 由表4-4查得应力系数?a=0.038 得： ?z=4? z(afOe)=4?0.038?100=15.2kPa 2) N点的竖向应力 叠加公式：?z=?z(ajki)+?z(iksd)-?z(bjkr)- ?z(rksc) 各面积附加应力计算结果列于表4-5 ?z=100?(0.131+0.051-0.084-0.035) =100?0.063=6.3kPa (2) 矩形面积上作用三角形分布荷载 求角点下M的竖向应力？ 这里注意： 求角点下M的竖向应力？ 将坐标原点取在荷载为零的角点上 取单元面积dA=dxdy，其上作用集中力dF=(x/b)p dx dy； 称为应力系数，为n=l/b和m=z/b的函数，可由表3-6查得。 计算公式： 荷载的组合： 例题3-4 矩形面积基础长l=5m，宽b=3m，三角形分布荷载作用在地表面，荷载最大值p=100kPa。试计算在矩形面积内O点下深度z=3m处M点的竖向应力值。 竖向应力多大？ [解] 1)荷载作用面积叠加 通过O点将矩形面积划为4块，假定其上作用均布荷载p1 p1=100/3=33.3kPa 用角点法，即 ?z1=?z1(aeOh)+?z1(ebfO)+?z1(Ofcg)+?z1(hOgd) 应力系数可由表3-4查得，结果列于表3-7 ?z1=33.3?(0.045+0.093+0.156+0.073) =12.2kPa 2)荷载分布图形的叠加 ABC=DABE ?AFD+CFE 三角形分布荷载AFD作用在aeOh和ebfO上： ?z2=?z2(aeOh)+? z2(ebfO)=p1(?t1+?t2) ?z2=33.3?(0.021+0.045)=2.2kPa 三角形