高中数学【配套Word版文档】四.4.6三角恒等变换及应用.docVIP

§4.6　三角恒等变换及应用 2014高考会这样考　1.利用三角恒等变换求值或化简；2.在三角恒等变换基础上，考查三角函数的图象和性质． 复习备考要这样做　1.熟练掌握三角函数和差公式、倍角公式；2.会灵活应用公式，掌握一些常用技巧． 1． 降幂公式 sin2＝；cos2＝； tan2＝. 2． 几个恒等式 (1)sin θ＋sin φ＝2sincos ； cos θ＋cos φ＝2coscos . (2)万能代换： sin α＝；cos α＝； tan α＝. [难点正本　疑点清源] 1． 利用降幂公式可以计算的三角函数值，其中的符号由所在象限确定． 2． 公式的逆用、变形用是三角变换的常用技巧． 3． 注意公式asin α＋bcos α形式的三角式子的变形． 1． 已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos ＝________. 答案　－ 解析　cos α＝2cos2－1＝，∴cos2＝， ∴cos ＝±，∵α∈(π，2π)， ∴∈，cos 0，∴cos ＝－. 2． tan －＝________. 答案　－2 解析　原式＝－＝ ＝＝－2. 3． 若sin＝，则cos 2θ＝________. 答案　－ 解析　∵sin＝cos θ＝， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－. 4． 若α，β均为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为________． 答案　 解析　∵α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－， ∴cos α＝－＝－＝－， sin β＝＝＝. ∵πα＋β2π， 故由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－×＝， 得α＋β＝. 5． f(tan x)＝cos 2x，则f()＝________. 答案　－ 解析　f(tan x)＝cos 2x＝cos2x－sin2x ＝＝， ∴f()＝＝－. 题型一　三角函数的化简与求值例1　(1)已知απ，tan α＋＝－，求 的值； (2)已知0αβπ，tan ＝，cos(β－α)＝，求β. 思维启迪：(1)求值要对已知和所求式子进行化简；(2)求角β要先从α出发，结合α、β关系求β的范围和三角函数值． 解　(1)∵απ，∴－1tan α0， 由tan α＋＝－， 得：3tan2α＋10tan α＋3＝0， ∴tan α＝－或tan α＝－3(舍去)． ＝ ＝＝－－2tan α ＝－－2×＝－. (2)∵0α，tan ＝， ∴tan α＝＝＝. ∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝. 又因为0αβπ， 所以0β－απ. 因为cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝. 又cos α＝＝， 所以sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α ＝×＋×＝. 因为β∈，所以β＝. 探究提高　已知角的范围求角，要选用合适的三角函数，一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数；若角范围是，正、余弦函数均可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若角范围是时，则一般选正弦函数． (1)化简： (0θπ)； (2)求值：－sin 10°. 解　(1)原式 ＝ ＝＝. 因为0θπ，所以0，所以cos 0， 所以原式＝－cos θ. (2)原式＝－sin 10° ＝－sin 10°· ＝－sin 10°·. ＝－2cos 10°＝ ＝ ＝ ＝＝.题型二　三角形中的恒等变换例2　已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＋cos ＝. (1)求角C的大小； (2)若a，b，c成等比数列，求sin A的值． 思维启迪：由sin2＋cos ＝， 得cos ＝(1－sin2)＝cos2， 于是由cos ≠0，可得cos ＝，从而C＝. 解　(1)由sin2＋cos ＝， 得＋cos ＝， 整理得cos ＝0. 因为在△ABC中，0Cπ，所以0. 所以cos ＝(舍去cos ＝0)， 从而＝，即C＝. (2)因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac. 由(1)知，△ABC是以角C为直角的直角三角形， 所以c2＝a2＋b2，将b2＝ac代入， 整理得a2＋ac－c2＝0， 上式两边同除以c2，得＋－1＝0， 因为sin A＝，所以sin2A＋sin A－1＝0. 又0A， 解得sin A＝(舍去sin A＝)． 探究提高　 △ABC的三内角分别为A、B、C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，求C. 解　∵m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A ＝(sin Acos B＋sin Bcos A) ＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)， ∴sin C＝1－cos C，