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中国计量学院 毕业设计（论文）文献综述 学生姓名： 马建明 学 号： 0700802114 专 业： 数学与应用数学 班 级： 07数学1班 设计（论文）题目： Bernoulli数的应用 指导教师： 罗先发 二级学院： 理学院 2011年 3 月 9 日 Bernoulli数数学上，Bernoulli数Bn的第一次发现是与下述数列和的公式有关：其中n为固定的任意正整数。这数列和的公式必定是变量为m，次数为n+1的多项式，称为Bernoulli多项式。Bernoulli多项式的系数与Bernoulli数有密切关系如下：。 举例说，把n取为1，我们有Bernoulli数Bernoulli多项式而来，定义 其中，为Bernoulli数Bernoulli数最先由·Bernoulli研究，棣莫弗以他来命名。Bernoulli数可以由下列递推公式计算：，初值条件为B0 = 1。 Bernoulli数也可以用母函数技巧定义。它们的指数母函数是x/(ex ? 1)，使得对所有绝对值小于2π的x（幂指数的收敛半径），有。 有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开由计算知： B(0)=1,B(1)=-1/2,B(2)=1/6,B(3)=0,B(4)=-1/30,B(5)=0, B(6)=1/42,B(7)=0,B(8)=-1/30,B(9)=0),B(10)=5/66,B(11)=0, B(12)=-691/2730,B(13)=0,B(14)=7/6,B(15)=0, B(16)=-3617/510,B(17)=0,B(18)=43867/798,B(18)=0, B(20)=-174611/330 …… 一般地,n=1时,有B(2n+1)=0;n=2时,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0-n)可用来逐一计算Bernoulli数。可以证明对所有不是1的奇数n有Bn = 0。乍看起来突兀的B(12)=-691/2730，喻示Bernoulli数不能以初等方式描述；其实它们是黎曼ζ函数于负整数的值，有深邃的数论性质联系，所以不能预期有简单的计算公式。Bernoulli数出现在正切和双曲正切函数的泰勒级数展开式、欧拉─麦克劳林公式，及黎曼ζ函数的一些值的表达式。在1842年的艾达拜伦的分析机笔记的笔记G，第一次记述了一个让电脑产生Bernoulli数的演算式。Bernoulli数, 雅各布( Jacob Bernoulli)在论证了调和级数之后,又进一步阐述了整数平方的倒数和问题,现在称为Bernoulli级数和,他是黎曼(Riemann)ζ函数ζ( s) = Σn =11ns , Re ( s) 1中s = 2的特例,而这个在解析数论中有着十分重要的作用;雅各布研究表明, Bernoulli级数趋向某一小于2的有限数。鉴于明显的原因,这一证明收敛性的方法现在称为“比较判别法”。虽然John 和Jacobi知道这一无穷级数是收敛级数,但他们未能找到其和的精确数值。Jacobi带着几分绝望的恳求宣告了他的失败:“如果有人能够发现并告知我们迄今为止尚未解出的难题的答案,我将不胜感谢。”1734年,一位师从约翰2Bernoulli的青年数学家Euler一举解决了当时与费尔马大定理齐名、困扰数学家百年之久的问题Bernoulli级数和ζ(2) = Σn =11n2 =π26。终于解出了这道难题完成了其老师Bernoulli心愿。 Bernoulli数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = ? nζ(1 ? n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。Bernoulli数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。Bernoulli数还和代数K理论有关：若cn是Bn/2n的分子，那样的阶是?c2n若n为偶数；2c2n若n为奇数。与整除性也有关连的是冯·施陶特-克劳森定理(von Staudt-Clausen)。这定理是说，凡是适合p ? 1整除n的质数p，把1/p加到Bn上，我们会得到一个整数。这个事实给出了非零Ber