8.3分类讨论学生版.docVIP

第八专题 三 分类讨论 知识梳理 1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a0、a＝0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等； （3）由实际意义分类。如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论； （4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等． （5）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax2时分a0、a＝0和a0三种情况讨论。这称为含参型。 （6）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论。 2．分类讨论是一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究； 3．分类原则：（1）对所讨论的全域分类要“即不重复，也不遗漏”（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级； 4．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口（4）二分发是分类讨论的利器（4）层次分明是分类讨论的基本要求； 5．讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳； 6．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避。如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元。如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算。如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合。利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论。 热点突破 题型一 与数学概念有关 例1(2012·青岛模拟)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足PF1∶F1F2∶PF2＝ 4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于________．在数列{an}中，已知a1＝1，an＝Sn－1 (n∈N*，n1)，则该数列的通项公式是______________．(2012·江苏卷改编)解关于x的不等式：loga＞1. 4.(2011常州) 已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是圆锥曲线这一数学概念包含多种类型．当圆锥曲线没有具体给定时，要讨论是哪类圆锥曲线，否则会造成漏解． ，求c1，c2，c3； (2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{cn＋1－λcn}是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由； (3)求出所有的满足条件的数列{an}． 变式1 (2012·泰州月考)已知函数f(x)＝x－，正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，且满足f(a)·f(b)·f(c)＜0，若实数d是函数f(x)的一个零点，那么下列四个判断：d＜a；d＞a；d＞c；d＜c中有可能成立的序号为________． 在△ABC中，已知＝，＝，求在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程． 数列问题中涉及分类讨论的公式有两个，即an与Sn之间的关系式an＝ 和等比数列的求和公式Sn＝ 函数f(x)＝x－2ax＋1在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)．(1) 求g(a)的解析式；(2) 求g(a)的最大值． 若函数若f(a)f(－a)，则实数a的取值范围是__ (2012·南通)已知f(x)＝x－4x＋(3＋m)x－12x＋12，m∈R.(1) 若f′(1)＝0，求m的值，并求f(x)的单调区间；(2) 若对于任意实数x，f(x)≥0