数列求和(终稿).docVIP

数列求和的五种方法： 一、利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 等差数列求和公式： 等比数列求和公式： 练习1.求和 二、倒序求和法 练习3.求的值 练习4. 练习5.求数列的前项和 三、错位相减法（源于等比数列求和，但高于等比数列求和），适合于差比数列求和，此法是重点技巧！ 练习6 练习7.求和S= 练习8.求和 四、分组求和法 练习10.数列 前项和 练习11.求和： 五、裂（拆）项求和法 练习12.常用裂项技巧， ， 练习13. 求数列的前n项和. 练习14. 练习15. 练习16 练习17. 练习18. 五．【思维总结】 1．数列求和的常用方法 （1）公式法适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列裂项相消法适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等错位相减法适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。 倒序相加法类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 分组求和法累加（乘）法等1） 1+2+3+...+n = 2）1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） ，则……； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若，则……； （3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）. 数列通项公式求法的思考 ---递归数列通项公式的求法 摘要： 确定的数列,其中为初始值，r为递归数列的阶数。 二、通项公式的求法 类型1.若数列 例1.（07年北京考卷15题） 数列 . (1)求c的值 （2）求的通项公式. 分析：有条件（1）易知 则 = 点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解，称之为叠加法。 类型2. 若数列 =…· 例2：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。 分析：由(n+1)·=n·得， =··…= 所以 点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法；称之为叠乘法. 类型3. 若数列p=1为等差，q=0时为等比.当 构造1：，转化类型1，可求其通式 构造2：设存在，即 可求其通式 例3.（07年全国试卷Ⅰ22题） 已知数列 求的通项公式； 若数列 分析：（1）利用构造2:由 ，,可求其通式公式. 利用构造1： ，同样可求得其通项公式. 类型4. 若数列 分析：可在式子的两边同除以，化为类型3构造1，可求其通项公式. 例4.（07年天津21题） 在数列中， 求数列的通项公式； 求数列的前n项和； 证明存在 分析：由题意得： 所以是首项为0，公差为1的等差数列，即 类型5. 若数列p,q为常数. 分析：若能找到--①，令 ，则为等比数列，且，由此可化为类型4. 下面主要探讨如何来确定：①可化为，比较得 ，此方程称的特征方程.于是有 所以，，转化为类型4可求其通式. 分析：上式可化为， ，转化为类型1,可求其通式. 已知数列的递推关系求数列的通项公式，都可转化化归为以上五中类型之一进行求解，等差数列和等比数列是最为常见较为简单的递归数列，熟悉以上几种类型，明确其中的原理，渗透其中的构造思想，对我们解决数列方面的问题大有帮助. 三、应用 1.若数列求其通项公式 解：原式可变为首项，4为公差的等差数列，则，由类型1；可得 . 2.设，求此数列的通项公式. 解：可把递推公式化为，可见是常数列，于是=…=, 即，进而可变形为：，所以是等差数列，由等差数列的通项公式可得. 3.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少? （2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）． （1）证明：，；（2）求数列的通项公式； （3）若，，求的前项和． 6. （2011年广东理科）设数列满足, 求数列的通项公式； 证明：对于一切正整数n, 6