如何讲好学好一门数学课程(刘太顺).docVIP

通过剖析《数学分析》课程的教学看 如何讲好学好一门数学课程 湖州师范学院理学院 刘太顺 摘要：《数学分析》的主要内容(微分、积分、Stokes定理和级数理论)；《数学分析》的主线(微分与积分)、次线(离散与连续)和第三条线(逐点与一致)；《数学分析》在物理学中的应用(功、流量、梯度、旋度、散度等)；形式逻辑准备与关键概念的讲授；《数学分析》的后续课程；讲好一门数学课程的心得体会。 《数学分析》的主要内容 一、极限与实数理论、连续的概念和性质(各种教科书的讲法大同小异，讲多讲少可由任课教师根据学生情况灵活处理) 二、微分学 1、单变量：导数的概念、物理意义、几何意义；基本初等函数的求导公式；高阶导数的概念；导数的四则运算，本质上只有求导的线性性质和函数乘积的导数求法，这是因为 和 之故；复合函数求导的链式法则；微分的概念、几何意义；微分中值定理，几何直观强、用途广、威力大的也许是Lagrange中值定理；微分的推广——带Peano余项的Taylor定理、Lagrange中值定理的推广——带Lagrange余项的Taylor定理；利用导数研究函数的单调性、极值和凸性等。 2、多变量：函数的方向导数、偏导数和梯度；映射的Jacobi矩阵；梯度的分析意义、几何意义；函数的高阶偏导数；复合映射求Jacobi矩阵的链式法则；映射的微分概念、函数微分的几何意义；定义在凸区域上函数的Lagrange微分中值定理、映射的拟微分中值定理；映射的微分的推广——带Peano余项的Taylor定理、函数的Lagrange中值定理的推广——带Lagrange余项的Taylor定理；多变量函数的极值和条件极值、凸性；隐映射定理和逆映射定理等。 三、积分学 1、单变量：原函数和不定积分的概念(也可认为是微分学的内容)；基本初等函数的求不定积分公式；不定积分的线性性质、分部积分法、换元积分法；有理函数和可有理化函数的不定积分；定积分的概念、物理意义、几何意义；定积分的线性性质、分部积分法、换元积分法；可积性理论(或许还包括判定函数是否Riemann可积的Lebesgue定理)等。 2、多变量：(先有面积或体积的概念)多重定积分的概念、物理意义、几何意义；化多重积分为累次积分；(先有曲线弧长的概念)第一型曲线积分的概念、物理意义；(先有曲线定向的概念)第二型曲线积分的概念、物理意义；(先有曲面面积的概念)第一型曲面积分的概念、物理意义；(先有曲面定向的概念)第二型曲面积分的概念、物理意义等。 四、Stokes定理 1、单变量的Newton-Leibniz公式或微积分 基本定理： 或 . 2、二变量的Green公式： . 3、三变量的Gauss公式： . 4、三维空间中Newton-Leibniz公式的推广： . 5、三维空间中Green公式的推广—— Stokes公式： . 6、Stokes定理(前述公式的统一，在流形上也成立)： . 五、级数理论 1、数项级数(包括广义积分)：级数收敛的概念、各种收敛判别准则、各种性质。 2、函数项级数(包括含参变量的广义积分)：函数项级数一致收敛的概念、各种一致收敛的判别准则、和函数的各种性质。 3、幂级数和Fourier级数理论(包括Fourier分析)：作为函数项级数理论的应用。 微积分学的三条线 一、微分与积分是主线：整个微积分学围绕着它们展开，它们互为逆运算，联系密切，大致上可以说有一条微分的概念或定理就有一条积分的概念或定理与之对应，反之亦然。 1、Stokes定理把微分与积分联系起来： (Newton-Leibniz公式) (Newton-Leibniz公式的推广) (Green公式) (Stokes公式) (Gauss公式) 2、导数的概念与原函数(或不定积分)的概念、微分的概念与定积分的概念； 3、基本初等函数的求导公式与基本初等函数的不定积分公式； 4、求导的线性性质与积分的线性性质、函数乘积的求导公式与分部积分法、复合函数的求导公式与换元积分法(这也解释了只有基本积分法、分部积分法和换元积分法的原因：因为只有三种求导方法，故只能有三种积分方法)； 5、微分中值定理与积分中值定理、带Lagrange余项的Taylor定理与带积分余项的Taylor定理； 等等。 二、离散与连续是次线：整个微积分学到处涉及离散与连续的概念和定理，大致上可以说有一条离散的概念或定理就有一条连续的概念或定理与之对应，反之亦然。 1、数列与函数的极限概念、数列极限与函数单侧极限的单调有界收敛定理、数列极限与函数极限的比较原理和Cauchy收敛原理等等； 2、数列极限的Stolz定理与函数极限的L’Hospital法则； 3、Abel分部求和法与定