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第七章 常微分方程 一、本章学习要求与重点和难点 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为或，时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（，，）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题. 二、主要解题方法 1．一阶微分方程的解法 例1 求微分方程 满足条件的特解. 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 两边积分，得 求积分得 ， 记 ，得方程的解 . 可以验证 时，，它们也是原方程的解，因此，式中的可以为任意常数，所以原方程的通解为 （为任意常数）. 代入初始条件 得 ，所以特解为 . 例2 求微分方程（1），（2） 的通解. （1）解一 原方程可化为 ，令 ， 则 ，即 ， 两边取积分 ， 积分得 ，将代入原方程，整理得原方程的通解为 （为任意常数）. 解二 原方程可化为 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 ，得其通解为 . 设为原方程的解，代入原方程，化简得 所以原方程的通解为 ，即 （为任意常数）. （2）解 这里，代入通解的公式得 （为任意常数）. 小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式 ，也可直接利用公式 ） 求通解. 可降阶的高阶微分方程 例3 求微分方程 的通解. 解 方程中不显含未知函数，令 代入原方程，得 微分方程是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 由此 因此，原方程的通解为 （为任意常数）. 例4 求微分方程 满足初始条件 ，的特解. 解 方程不显含，令 ，则方程可化为 当 时 ，于是 . 根据 ，知 代入上式，得 ，从而得到 ，积分得 ， 再由，求得 ，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为 ， 当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中. 故原方程满足所给初始条件的特解为，即 . 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法 例5 求微分方程的通解. 解 原方程对应的特征方程为 当，即 或时，特征方程有两个不相等的 实根 ，， 故原方程的通解为 . 当，即或时，特征方程有两个相等的实根 故原方程的通解为 . 当，即 时，特征方程有两个共轭复根 故原方程的通解为 . 4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 例6 求微分方程 满足初始条件 ，的特解. 解 对应齐次方程的特征方程为 ，特征根 ． 故对应齐次微分方程的通解为 . 因为是特征方程的单根，所以设特解为 代入原方程得 比较同类项系数得 ，从而原方程的特解为 故原方程的通解为 ， 由初始条件 时，，得 从而，.因此满足初始条件的特解为 . 例7 求微分方程 的通解. 解 对应的齐次微分方程的特征方程 ，特征根 .于是所对应的齐次微分方程通解为 为了求原方程的一个特解, 先求 的特解.由于是特征方程的单根，且是零次多项式。所以设特解为 ，代入原方程，化简得 比较同类项系数，得 所以，方程的特解为 其虚部即为所求原方程的特解 . 因此原方程通解为 . 小结 在设微分方程 的特解时，必须注意把特解设全.如：，那么 ，而不能设.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解. 用微分方程解决实际问题的方法 例8 已知某曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. 解 设所求曲线方程为 为其上任一点，则过点的曲线的切线方程为 ， 由假设，当时 ，从而上式成为 . 因此求曲线的问题，转化为求解微分方程的定解问题 的特解.由公式 ，得 代入得 ，故所求曲线方程为 . 小结 用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等. 三、学法建议 本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分