评述韦达定理的价值.docVIP

评述韦达定理的价值 1559年，法国数学家韦达提出一个关一元n次方程根与系数关系的定理：设方程a0xn+a1xn-1+a2xn-2…+an-1x+an=0的n个根为想x1，x2，…，xn，那么x1+x2+…+xn= x1x2+x1x3+…+x1xn+…+xn-1xn= …… x1x2…xn=（—1）n 后人称为韦达定理。 韦达(Viete,Francois)是法国十六世纪最有影响的数学家之一。1540年出生于法国普瓦捷,1603年12月13日卒于法国巴黎。他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem)。一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要。 解 因为，而，所以由韦达定理知，和是一元二次方程t2-t+1=0的两个根。由于这个方程的两个根为t1=3,t2=,所以，可得 或 因为与等价，而与等价，所以，我们只需解与即可。分别解这两个方程，得x1=5，x2=-5。经检验知，x1=5和x2=-5是原方程的解。 例2 解方程组 解 将原方程组变形为 有韦达定理知，和是方程t2-5t+6=0的两个根,而该方程的两个根是t1=3, t2=2,因此，可得 ，，或，。 对于，，由韦达定理知，x和是方程u2-3u+2=0的两个根，而该方程没有实数解，故方程组 ，没有实数解。 经检验知， ， 是原方程组的解。 摘自《里用韦达定理解方程（组） 王瑞琦》 2.韦达定理揭示了一元二次方程的根与系数间的关系，应用十分广泛，我们在学习中英领悟定理的本质意义，由浅入深地掌握运用此定理惊醒阶梯的三个层次。 （1）根据题目条件，直接用定理 若问题要求一元二次方程中字母系数的值，或求与一元二次方程的根有关的代数式的值，或就做符合条件的一元二次方程等，可直接运用韦达定理。 例 已知方程2x2+kx+6=0的一个根是2，求方程的另一根及k的值。 解析 设方程的另一个根为x1,由韦达定理：,∴. 又 ，∴ （2）注意前提条件，准确运用定理 韦达定理运用的前提条件是一元二次方程有实数根，即△≥0解题时必须注意这一前提条件，以免造成错解。 例 已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0的两实根为x1、x2，且（x1+x2）） 把m=3代入原方程，得x2-4x+6=0,△=16-240.不符合题意,应舍去; 把m=-代入原方程，得x2+3x-,△=9-40.符合题意。 综上所述，m的值为-. 3.韦达定理在物理学当中也充分的发挥了其本身的价值。 例 1 在 一闭合电路中，电源电动势为E,内电阻为r，当外电阻为R1时，电路中的电流为I1，电源的输出功率为P;当外电阻为R2时，电路中的电流为I2，电源的输出功率仍为P，则下列结论中正确的是( ) (A)R1R2=r2. (B)R1+R2=. (C)I1I2=. (D)I1+I2= 分析 根据选项（A）(B)，选择电阻R为自变量，列函数关系式，有闭合电路的欧姆定律及功率公式得 ， ① P=I2R ， ② 把①式代入②式得 P= 2 R ， ③ ③式化简得 PR2+(2rp-E2)R+Pr2=0， ④ ④式是关于R的一元二次方程，由韦达定理得 再根据选项(C)、(D)，选择I为自变量，列函数关系式。 由闭合电路欧姆定律及功率公式得 , ⑤ 把⑤式化为一元二次方程 , ⑥ ⑥式是关于I的一元二次方程，由韦达定理得 由此可知，(A)、（C）、(D)正确。 例 2以初速度V0竖直上抛一物体，已知t,s上升到h高处，在t2s末又回到同一高度h上，试证明 分析 要证明的式子中有时间和、时间积的项，由此就会想到建立关于时间t的一元二次方程，然后用韦达定理推导. 选择向上为正方向，由竖直上抛运动规律 可得 把它化为关于t 的一元二次方程 设t1、t2为上式方程的两个根，由韦达定理可得 则 摘自《韦达定理应用二例 陈余华》 所以