生日悖论.docVIP

生日悖论 出自 MBA智库百科(/) 生日悖论（Birthday paradox） 什么是生日悖论 　　生日悖论（Birthday paradox）是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。 生日悖论的理解 　　理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的。如在前面所提到的例子，23个人可以产生种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能。从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议。 　　换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是变得非常低。原因是这时候只能产生22种不同的搭配。生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少。 概率估计 　　假设有n个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。 　　计算机率的方法是，首先找出p(n)表示n个人中，每个人的生日日期都不同的概率。假如n 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设n ≤ 365，则概率为: 　　 　　因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365),第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形式: 　　p(n)表示n个人中至少2人生日相同的概率: 　　 　　n≤365，根据鸽巢原理， n大于365时概率为1。 　　当n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来： n p(n) 10 12% 20 41% 30 70% 50 97% 100 99.99996% 200 99.9999999999999999999999999998% 300 1 ? (7 × 10?73) 350 1 ? (3 × 10?131) ≥366 100% 　　注意所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率： 　　 　　当n = 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日， n至少要达到253 。注意这个数字大大高于.究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。==数学论证(非数字方法)== 数学论证(非数字方法) 　　在 Paul Halmos 的自传中，他认为生日悖论仅通过数值上的计算来解释是一种悲哀。为此，Paul Halmos给出了一种概念数学方法的解释，下面就是这种方法（尽管这个方法包含一定的误差）。 　　乘积: 　　等于 1－p(n), 因此我们关注第一个n，使得乘积小于1/2，这样我们得到: 　　 　　由平均数不等式得： 　　 　　 　　(我们首先利用已知的1到n－1所有整数和等于 n(n－1)/2, 然后利用不等式不等式 1－x??e?x.) 　　如果仅当: 　　 　　最后一个表达式的值会小于0.5。 　　其中loge表示自然对数。这个数略微小于506，运气稍微好一点点就可以达到506，等于n2－n，我们就得到n＝23。 　　在推导中，Halmos写道: 　　 这个推导是基于一些数学系学生必须掌握的重要工具。生日问题曾经是一个绝妙的例子，用来演示纯思维是如何胜过机械计算：一两分钟就可以写出这些不等式，而乘法运算则需要更多时间，并更易出错，无论使用的工具是一只铅笔还是一台老式电脑。计算器不能提供的是理解力，或数学才能，或产生更高级、普适化理论的坚实基础。[1]。 　　然而Halmos的推导只显示至少需要23人保证平等机会下的生日匹配；因为我们不知道给出的不等式有多清晰，因此n＝22能够正切的可能也无法确定。 泛化和逼近 生日悖论可以推广一下：假设有n 个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。 p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大? 下面的逼近公式可以回答这个问题 N＝365的结果 泛化 下面我们泛化生日问题: 给