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第三章：中值定理与导数的应用 §3.1 中值定理 本节将运用微分学的两个基本定理，这些定理是研究函数在区间上整体性质的省力工具，为此，先介绍Rollo定理：Rollo定理：若函数f(x) 满足：（i）f(x) 在 [a,b] 上连续；（ii）f(x) 在（a,b）可导，（iii）f(a) =f(b), 则在（a,b）内至少存在一点，使得f()=0. 证明：由（i）知f(x)在[a,b]上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况： M=m，即f(x)在[a,b]上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)＝M=m，＝0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f()＝0。 Mm,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值。下面来证明：f()=0 首先由（ii）知f()是存在的，由定义知： f()= …….(*) 因为为最大值，对有 f(x) Mf(x)－M0, 当x时，有0 当x时，有0。 又因为（﹡）的极限存在，知（﹡）极限的左、右极限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 。 注 1：定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。 2：定理中的点不一定唯一。事实上，从定理的证明过程中不难看出：若可导函数在点处取得最大值或最小值，则有。 3：Rolle定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。 设多项式的导函数没有实根，证明最多只有一个实根。 Lagrange中值定理 在Rolle定理中，第三个条件为(iii)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是Lagrange中值定理： 若函数满足：(i)在上连续；(ii)在上可导；则在内至少存在一点，使得 。 若此时，还有， 。可见Rolle中值定理是Lagrange中值定理的一个特殊情况，因而用Rolle中值定理来证明之。 证明：上式又可写为 ……(1) 作一个辅助函数： ……(2) 显然，在上连续，在上可导，且 ， 所以由Rolle中值定理，在内至少存在一点,使得 。 又 或 。 注 1：Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广； 2：定理中的结论，可以写成，此式也称为Lagrange公式，其中可写成： ……(3) 若令 ……(4) 3：若，定理中的条件相应地改为：在上连续，在内可导，则结论为： 也可写成 可见，不论哪个大，其Lagrange公式总是一样的。这时，为介于之间的一个数，(4)中的不论正负，只要满足条件，(4)就成立。 4：设在点处有一个增量，得到点，在以和为端点的区间上应用Lagrange中值定理，有 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为微分中值定理。 5：几何意义：如果曲线在除端点外的每一点都有不平行于轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端点的联线。 由定理还可得到下列结论： 定理：如果在区间上的导数恒为0，则在上是一个常数。 证明：在中任取一点，然后再取一个异于的任一点，在以，为端点的区间 上，满足：(i)连续；(ii)可导；从而在内部存在一点，使得 又在上，，从而在上，， ， 所以 ， 可见，在上的每一点都有： （常数）。 Cauchy中值定理 Cauchy中值定理：若满足： (i) 在上连续； (ii) 在内可导； (iii)在内恒不为0； (iv)； 则在内至少存在一点，使得 。 证明：令，显然，在上连续，且在内可导，更进一步还有 ，事实上， 所以满足Rolle定理的条件，故在内至少存在一点，使得，又 因为， 注 1：Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的推广，事实上，令，就得到Lagrange中值定理； 2：几何意义：若用 （）表示曲线，则其几何意义同前一个。 若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明在内至少有一