数分第十六章十七章复习题.docVIP

第16章和第17章的复习自测题 一、了解两点间的距离的含义和点的邻域（包括圆邻域和方邻域）和空心邻域的含义，会用邻域来描述点与点集的两类分类关系（内点，外点和边界点关系；聚点，孤立点和外点关系）；理解点列收敛的含义，熟练掌握点列收敛与坐标数列收敛的等价关系；并用上述内容解决下面的问题： 1、据理说明：设， （1）的内点 的聚点；聚点包含内点和非孤立点的边界点，从而 ； （2）的孤立点 的边界点；边界点包含孤立点和非内点的聚点，从而 。 2、根据1的结果证明（的闭包（记为）的两种表示）：设，则 ； 3、（聚点的等价关系）设，，则下面的说法等价 （1）是的聚点（即对的任意邻域，总有）； （2）存在中的一个点列，，使得； （3）对的任意邻域，总有为无限集。 注：今后考虑聚点时，可根据具体问题选择上面三种说法中的任何一种来反映聚点。 二、了解开集（即），闭集（即），（道路）连通集，凸集，开域，闭域和区域的含义，并用这些集的含义解决下面的问题： 1、（开集和闭集的对偶关系）是开集是闭集；是闭集是开集； 注：此结果表明：开集和闭集的集合的余运算（或称补运算）下，可相互转化。 2、开集和闭集的并交差运算性质： （1）若，为开集，则和仍为开集； （2）若，为闭集，则和仍为闭集； （3）若为开集，为闭集，则为开集（即开集减闭集的差集仍为开集），为闭集（即闭集减开集的差集仍为闭集）。 3、设为上的连续函数，，记 ，， ，， 证明和是开集，和是开集。 提示：（1）利用连续函数的局部保号性和开集的定义证明和是开集； （2）注意到，，利用开集和闭集的对偶关系证明和是开集。 三、熟悉上的四个完备性定理（点列收敛的柯西准则，闭集套定理，聚点定理（包括致密性定理），有限覆盖定理）的内容，并会用实数的完备性定理或其证明方法证明着四个定理。 四、仔细体会二元函数的各种重极限的含义，清楚重极限与累次极限的区别和一定条件下的关系，熟练掌握重极限的常用性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，夹逼性），试用上面的内容解决下面的问题： 1、叙述并证明的局部保号性和局部有界性； 2、证明（极限的夹逼性）：若，，在点的某空心邻域满足： ， 且 ， 则。 3、证明：若，且对任意固定的，有存在，则 ，且。 4、归纳讨论的（重）极限不存在的两种方法（特殊路径法和累次极限法），并用适当方法讨论下列函数在原点处的累次极限和重极限： （1）；（2）；（3）。 提示：（2）取可得，，用待定函数法取，其中可得，从而不存在。 5、归纳并熟练掌握求重极限的常用方法（定义法，四则运算法，夹逼性，选择适当变换转化为一元函数的极限），并用夹逼性求下列极限（包括非正常极限）： （1）； （2）； （3）； （4）。 五、仔细体会二元函数连续的含义，了解二元初等函数的含义以及二元初等函数的连续性；熟练掌握连续函数的局部性质（局部保号性，局部有界性，四则运算性，复合函数的连续性），有界闭集上连续函数的整体性质（有界性和最值性，一致连续性），连通集上连续函数的介值性。试用上面解决下面的问题： 1、讨论下列函数的连续性： （1）； （2）； （3）； （4），其中为狄利克雷函数。 2、设（），试讨论它在点的连续性。 3、（复合函数的一致连续性）设合在平面上的点集上一致连续，在平面上的点集上一致连续，且 ， 则复合函数在点集上一致连续。 六、掌握二元函数连续与对单变量连续的关系，仔细体会在一定的条件下，由单变量连续导出连续的方法，并用这些方法解决下面的问题： 1、设在开域内对，都连续，且对连续关于是一致的：即对任意以及任意，存在，当时，对一切，都有 。 证明：在开域内连续。 2、设在开域内对，都连续，且对任意固定的，是的单调函数，证明：在开域内连续。 七、熟练掌握函数可微的定义（两种形式的定义）和偏导数的定义，熟习用定义讨论函数在一点可微的程序，并用这一程序解决下面的问题： 1、简述讨论函数在一点可微的程序； 2、设 ， 试讨论 （1）在原点处的连续性； （2）和的存在； （3）在在原点处的可微性。 八、简述在一点的连续，偏导数和可微之间的关系（具体包括可微与连续的关系；可微与偏导数的关系；偏导数与连续的关系；在一定条件下偏导数与连续的细致关系，偏导数与可微的细致关系）。 九、仔细体会并熟练掌握多元函数微分中值公式（包括证明方法：插项法和一元函数的微分中值公式），并用微分中值公式或证明方法解决下面的问题： 1、若在点的内存在偏导函数，在点连续，且存在，则在点可微。 提示：用微分中值公式的证明方法和可微的定义。 2、若在点的内存在偏导函数，有界，且在点处对连续，则在点连续。 提示：用微分中值公式的证明方法和连续的定义。 3、设函数定义在平面上， （1）若，探索与的关系； 提示：考虑对