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第四讲 微分方程 考纲要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法. 3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 4.会用降阶法解下列微分方程：，和. 5.理解线性微分方程解的性质及解的结构. 6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程. 7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程. 8.会解欧拉方程. 9.会用微分方程解决一些简单的应用问题. 问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？ 答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数. 微分方程的解：满足微分方程的函数. 微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数. 初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：，. 二阶微分方程初值问题：，，. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）. 问题2 如何求解一阶微分方程？ 答 一阶微分方程的一般形式是：，解出：，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法. 1可分离变量的微分方程： 解法 分离变量：；两端积分：. 2 齐次微分方程： 解法 令，则，，代入方程，得并求解. 3 一阶线性微分方程： 若，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程，求得通解； 再令非齐次线性微分方程的解为，代入方程求出. 通解公式： 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解对应的齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的特解. 4 伯努利方程：.（与一阶线性微分方程比较） 解法 方程两边乘以，再令，将方程化为一阶线性微分方程. 求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程： 1. 【】 2. 【】 3. 【】 4. 【】 5. 【】 6. 7. 【】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？ 答 二阶微分方程，解出，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法： 1. 、型的微分方程 特点：右端仅含. 解法：积分两次. 2. 型的微分方程 特点：右端不显含未知函数. 解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）； ⑵解出； ⑶再由解出. 3.型的微分方程 特点：右端不显含. 解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令，则，方程化为（这是关于变量，的一阶方程）； ⑵解出； ⑶再由解出. 例 1. 解方程.【】 2.求微分方程满足初始条件的特解. 3.求初值问题的解. 解 令，则， 方程化为，分离变量，得，两边积分，得 ，即. 将初始条件代入，得，故，解得 ，（舍去）. 再解，分离变量，得，两边积分，得 ，将初始条件代入，得， 所求特解为，即. 注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解. 问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式： 若，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质 ⑴如果与是齐次方程的两个解，则是此齐次方程的解. ⑵如果与是非齐次方程的两个解，则是对应齐次方程的解. ⑶（解的叠加原理）设是线性方程的特解，则是的特解. 2线性微分方程解的结构 定理1（齐次方程解的结构）如果与是齐次方程的两个线性无关的特解，则是此齐次方程的通解. 定理2（非齐次方程解的结构）设是非齐次方程的一个特解，是对应的齐次方程的通解，则是此非齐次方程的通解. 例 设是的三个线性无关的解，则其通解为 .【】 问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程？ 答 先求出它的特征方程的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）. 特征方程的根 方程的通解 两个不等实根 两个相等实根 两个共轭复根 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程的特解？ 答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特