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高等数学教学样板教案 授课次序01 教 学 基 本 指 标 教学课题 微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程 课的类型 新知识课 教学方法 讲授 教学手段 演示 教学重点 微分方程、微分方程的阶、微分方程的通解、微分方程的特解，可分离变量的微分方程的解法 教学难点 微分方程的通解和微分方程的特解 参考教材 武汉大学与同济大学编《微积分学习指导》 安玉伟等编《高等数学定理 方法 问题》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》 安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》 作业布置 微积分标准化作业微积分标准化作业 大纲要求 了解微分方程的基本概念 掌握可分离变量的微分方程的解法 双语教学 微分方程 differential equation 可分离变量的微分方程：separable differential equations 微分方程的通解 general solution of differential equation 微分方程的阶 order of differential equation 微分方程的特解 particular solution of differential equation初值条件 initial condition 教 学 基 本 内 容 第四章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 一、引例：一条曲线通过点，且在该曲线上任意一点处的切线斜率等于，求该曲线方程。 解：设所求曲线的方程为。由导数的几何意义知在点切线的斜率即为在该点的导数，故曲线方程应满足 （1） 对上式两端积分，得 由已知条件还应满足 当 （2） 代入上式，得 故所曲线方程为 二、基本概念 微分方程：如（1）将含有未知函数的导数的等式叫做微分方程。 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。 微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。 微分方程在区间上的解：若在区间上有定义的某个函数满足微分方程，即将此函数代 入微分方程后能使微分方程成为恒等式，就称该函数是微分方程在区间上的解。 微分方程的通解：若微分方程的解中含有互相独立的任意常数，并且任意常数的个数与微 分方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解。 定解条件：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件（初值条件）。 特解：由初值条件确定了通解中任意常数的值后所得到得解称为特解。 微分方程初值问题或柯西问题：求微分方程满足初值条件得特解得为题称为微分方程初值 问题或柯西问题。 积分曲线：微分方程解得图形称为微分方程得积分曲线。 三、可分离变量的微分方程 1、定义：凡是能够化为形式的一阶微分方程就称为可分离变量的微分方程，将可分离变量的微分方程化为(*)形式的过程称为分离变量，而对两端同时积分来求解的方法称为分离变量法。 那么我们将怎样解可分离变量的微分方程？通常我们采用两边积分的方法求解。 假定方程（*）中的函数g(y)和f(x)是连续的。设 将上式两端积分，并由引进变量y ，得 设G(y )及F(x)依次为g(y) 及f(x)的原函数，于是有G(y)=F(x)+C 2、举例 例1、求微分方程的通解。 解：所给微分方程是可分离变量的，分离变量后可得 两端积分，得 从而 这里为任意的正常数。注意到也是方程的解，令为任意常数，即得所给方程的通解 例2、衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量成正比,已知,求衰变过程中铀含量随时间变化的规律. 解：衰变速度 由题设条件衰变系数） 即 代入 得 3、可分离变量的微分方程的初值问题 初值问题的解为 例3、求微分方程的解 解：所给微分方程是可分离变量的，分离变量后可得 利用可分离变量的微分方程初值问题的解法 即 化简整理可得 即 或写成 小结： 本节基本概念： 微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解; 初始条件；特解；初值问题； 分离变量法步骤:1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解. 思考题：1、函数是微分方程的什么解? 2、求解微分方程 练习题： 一、填空题: 1、是______阶微分方程； 2、是______阶微分方程； 3、是______阶微分方程； 4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 . 二、确定函数关系式所含的参数,使其满足初始条件,. 三、设曲