第五章微分学基本定理及导数应用.pdfVIP

《数学分析》讲义 第五章 微分学基本定理及导数应用 教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根 据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。 教学重点、难点： 本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性； 难点是用辅助函数解决问题的方法。 教学时数：14学时 §5-1 中值定理 （4 学时） 教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的 理论基础。 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证 明方法，知道三者之间的包含关系。 教学重点：中值定理。 教学难点：定理的证明。 教学难点： 系统讲解法。 一、引入新课： - 1 - 《数学分析》讲义 通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系， 引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了 “如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？ 俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。 我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章 微分 中值定理及其应用 §1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题） 二、讲授新课： （一）极值概念： 1．极值： 图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2. 可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二） 微分中值定理: 1. Rolle 中值定理: 叙述为 Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. 2. Lagrange 中值定理: 叙述为 Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参 阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数 在区间 I 上可导且 为 I 上的常值函数. (证) - 2 - 《数学分析》讲义 推论 2 函数 和 在区间 I 上可导且 推论 3 设函数 在点 的某右邻域 上连续,在 内可导. 若 存在,则右导数 也存在,且有 (证) 但是, 不存在时, 却未必有 不存在. 例如对函数 虽然 不存在,但 却在点 可导(可用定义求得 ). Th ( 导数极限定理 ) 设函数 在点 的某邻域 内连续,在 内可导. 若极限 存在, 则 也存在