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高中数学竞赛辅导讲义第四讲 几个初等函数的性质【讲义】.pdf
四章 几个初等函数的性质
一、基础知识
x 1)的函数叫做指数函数，其
1．指数函数及其性质：形如y =a (a0, a
x
定义域为R ，值域为（0，+ ∞），当0a1 时，y =a 是减函数，当a1
x
时，y =a 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
1 m m
1 - 1
n n n n m -n n
2 ．分数指数幂：a = a , a = a , a = , a = 。
n
a n a m
3 ．对数函数及其性质：形如y =log x(a0, a 1)的函数叫做对数函数，
a
其定义域为（0，+ ∞），值域为R ，图象过定点（1，0 ）。当0a1 ，y =log x
a
为减函数，当a1 时，y =log x 为增函数。
a
4 ．对数的性质（M0, N0 ）；
x
1）a =M ¤ x=log M(a0, a 1)；
a
2 ）log (MN)= log M+ log N ；
a a a
M n
3 ）log （ ）= log M- log N ；4 ）log M =n log M ；，
a a a a a
N
5 ）log n M = 1 log M ；6 ）aloga M=M; 7) log b= logc b (a,b,c0, a, c 1).
a a a
n logc a
a ( ] [ )
5. 函数y =x+ （a0 ）的单调递增区间是- •,- a 和 a ,+• ，单调递减
x
[ ) ( ]
区间为- a ,0 和0, a 。（请读者自己用定义证明）
6 ．连续函数的性质：若ab,f (x)在[a, b]上连续，且f (a) ·f (b)0 ，则f (x)=0
在（a,b ）上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
∈
例1 已知a, b, c (-1, 1)，求证：ab+bc+ca+10.
【证明】设f (x)=(b+c)x+bc+1 (x ∈(-1, 1)) ，则f (x)是关于x 的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f (-1)0 且f (1)0
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