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无穷递缩等比数列的和 1.教材分析 本节课题取材于人教版普通高中《数学》第三册（选修Ⅱ）第二章“数列”阅读材料----无穷等比数列的和，其主要内容是无穷递缩等比数列的求和公式及简单应用。教材在前面已介绍了数列的有限项的和，利用极限这个工具，不难将有限和转化到“无限和”。这样引伸，既符合学生的认知规律，也有助于加深体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想。本课内容蕴涵着丰富的数学思想方法和广泛的实际应用，对于开扩学生思路，激发学习数学的兴趣，都能起到较好的作用。 新编教科书增加“阅读材料”，不仅是为了扩展学生的知识，培养学生学习数学的兴趣，更重要的是为了充分展现数学的科学价值和人文价值。如何指导学生自学阅读并深入研究，最大限度地发挥其功能，是教师应该认真思考和对待的问题。 2.学情分析 无穷递缩等比数列及其它无穷数列的求和问题，主要用到数列求和方法、等比数列的求和公式、数列极限的概念及运算法则等知识，这些内容学生理解起来并不困难。无穷递缩等比数列求和公式的应用也十分广泛，对本节内容进行适当的拓展研究，通过学习、总结、探究和反思，挖掘出具有较深层次的知识，既丰富知识内容，完善知识结构，提高解题能力，也符合“源于教材，高于教材”的教学原则。 3.教学目标 1、理解数列的前的和与所有项的和的联系与区别，掌握无穷递缩等比数列的求和公式的推导，能利用无穷递缩等比数列的求和公式解决某些简单问题； 2、进一步提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，提高学生的阅读能力、观察能力、归纳能力，培养学生获取数学知识和应用数学的能力，培养交流合作精神； 3、培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，在解题教学中揭示生活哲理，体会数学的人文价值，丰富学生的人文素养。 4.重点难点 本课的重点是通过问题的探讨和公式的推导及应用，培养学生掌握运用在获取数学知识中的重要数学思想方法，体会数学的价值；难点是引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题；关键是创设问题情景，激发学习兴趣，把教学过程设计为一个实践探索的过程。 5.设计思想 本课设计的指导思想是着眼于提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，充分展现数学的人文价值，增强课堂教学的启发性和探究性，改变传统的“灌输式”学习模式，采用学生动手、讨论、探索，教师指导尝试的方法，通过故事引入、小组合作、交流讨论、阅读材料、自编习题、归纳分析等多种形式，发挥学生的主体作用，精心设计，创造良好情景，去深入体会数学中的一些重要思想方法和数学的文化价值，提高学生的思维品质和学习能力。 6.教学过程 师：我们先来了解著名的古印度“分牛传说”。 古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5。”话音甫落，老人就咽了气。 按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头地分，而先人的遗嘱必须无条件遵从。那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人。他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助。兄弟三人无法可想，只得诉诸官府，请求公断，官府老爷也是目瞪口呆，一推了之。三兄弟急得走投无路，却计无所出…… 师：同学们，我们能否用学过的数学知识帮助三兄弟解决这一难题？ （学生讨论、交流、发言） 师：这个故事有的同学曾经听说过，结局是这样的： 三兄弟为分牛一事绞尽脑汁，有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由。老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传。 师：同学们对故事中的老农有何评价？ 生：“智慧老人”！ 生：称得上一位数学家。 师：都不错！但同学们更应看到，这虽是一道数学题，却隐藏着丰富的社会和人生奥秘，社会乃至人生中的许多难题，有时只靠自身的元素或力量是难以解决的，这时，我们若能打开视野，借助一个外来的力量，难解的问题也许会变得出奇的简单！ 【评注】数学教学的形式多种多样，教师如果仅满足于就题论题，学生的解题水平或许会有所提高，但学生的人文素养难免“营养不良”。教师要善于抓住时机，利用一些经典案例，去揭示生活中蕴涵的深邃哲理，给学生以启迪。 生：我对这个分牛方案有疑议，老大似乎只该分9.5头，最后他怎么得了10头呢？ 师：这位同学问得好！我相信其他同学也会有此疑问，运用无穷递缩等比数列求和的知识，可以验证分牛方案是否合理。请同学们先看课本P93-P94上的阅读材料