毕业论文16.docVIP

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 编号 学士学位论文 泰勒公式的新证明 及其应用 学生姓名： 买买提艾力·买买提明 学 号： 20040101133 系 部： 数 系数学与应用数2004-3班木目录 中文摘要 1 引言 1 1.泰勒公式及其有关定理 1 1.1罗尔中值定理的两种推广形式 2 2. 泰勒公式的新证明 4 2.1 泰勒公式的推广 5 3.泰勒公式的应用 7 3.1利用泰勒公式求极限。 7 3.2泰勒公式在证明不等式中的应用 9 3.3泰勒公式在部分分式中的应用 10 3.4泰勒公式在 近似计算中的应用 14 3.5讨论级数的敛散性。 15 4.总结 17 参考文献 18 致谢 19 引言 泰勒公式是数学分析和微积分学的一个重要公式，他有广泛的应用。下面我重新证明泰勒公式及简单的介绍泰勒公式在求极限，证明不等式，分解部分分式，求近似解，判别级数的敛散性等方面的应用 1.泰勒公式及其有关定理 大家都知道，一元函数泰勒公式指： 定理1.1（泰勒定理）设在内存在 阶连续导数， 那么对，有 这里称为在在的次泰勒余项，简称泰勒余项。 （1）特别低称为佩亚诺余项。 （2）称为拉格朗日余项，其中在与之间。 （3）称为积分型余项。 由于泰勒余项形式的不同，文（1）、（2）、(3)分别利用洛比达法则、柯西中值定理及分部积分法证明了泰勒公式。本文先探寻得到了罗尔中值定理的两种推广形式，然后利用其重新证明了泰勒公式，并进而导出了泰勒余项的两种更一般形式。 本文还论述了泰勒公式的有些最方便的应用。 1.1罗尔中值定理的两种推广形式 引理1： 设函数满足： (i)在上存在直到阶的连续导数； (ii)在内阶可导； (iii)，且… 。（ 或者，且 =… ） 那么在内至少存在一点，使。 证：在条件(iii)中仅就 ，且 =… 的情形给出证明，至于后一情形可类似证明。 由假设，在上连续、可导，且，从而由罗尔定理知在内至少存在一点，使。注意到在上也连续、可导，且，再由罗尔定理知在内至少存在一点，使，结合假设条件，再反复使用罗尔定理， 次，可得 在 上连续，在 内可导，且，故知在内至少存在一点，使。 引理2：设函数满足： (i)在上存在直到阶的连续导数； (ii)在内，阶可导； (iii) ，且，=… ，（ 或者，且 … ） 那么对任何常数，在内至少存在一点，使 证：由假设可完全类似引理1前面部分的证明，连续使用次罗尔定理即知在内至少存在一点，使。 于是对任何常数 ，函数在上连续、在内可导，且由罗尔定理知， 在内至少存在一点，使。注意到在内， ，从而有。 ，显然，引理1是引理2的特殊情形 2. 泰勒公式的新证明 定理2.1：设在内存在直到阶连续导数， 那么，对，有 （1） 这里， 证：由假设对，不妨设： （2） 那么： 在（或者）上存在直到阶连续导数，且注意到(2)，有且， 从而依引理1知存在， 使。 这里在与 之间，而 故有 ， 代入(2) 即知结论成立。 2.1 泰勒公式的推广 定理2.2：设，在内存在直到阶连续导数，且，，。那么对有： (3) 这里 证：首先由假设知， 对， 有 ( k=1,2, …n)，否则将与引理l矛盾，故先设: 那么，由假设知在(或者)上存在直到阶连续导数,且，，依引理1知存在， 使，， 这里在与 之间，然而注意到 结合 ，就有 代入（4）即知定理1成立。 显然当。由于，， 故(3)就是(1)，即定理2.1仅是定理2.2中的情形，同样易知文【3】中的定理4就是定理2.2中 的情形。 定理2.3：设，在内存在直到阶连续导数，且 ， 若对常数 ，且，，那么对有 这里(5), (c在与 之间)。 证明：由假设对，有，从而易知有， ，，否则与引理1矛盾， 先设当时， 那么： 在 (或者)上存在直到阶连续导数，且 ，， 由引理2知对， 常数 ，存在，使 （在与之间）(7) 而， ， 由（7），有 即 ， 代入(6)即知定理成立。显然定理2.2是定理2.3中的情形。 3.泰勒公式的应用 3.1利用泰勒公式求极限。 对有些极限问题，利用带佩亚诺余项的泰勒公式求极限是十分有效的方法，要比暑洛比达法则，等价无穷小代等法来的更简便，但需对一些常用的函数的泰勒公式角熟。 例1： 解： 又当时 ， 故 例2：求 解：先做换元 ， 时 原式 3.2泰勒公式在证明不等式中的应用 例1：若在上二价可导，且（是正常数