实数的完备性.pdfVIP

第七章 实数的完备性 § 1 实数完备性的基本定理 教学目的与教学要求：掌握区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密 性定理、Cauchy 准则、确界原理与单调有界定理等实数完备性的基本定理的内 容及相应定理证明的思想方法；初步理解实数完备性的基本定理在应用中的各自 特点；理解覆盖的概念；掌握聚点的概念； 教学重点：区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、Cauchy 准则、确界原理与单调有界定理等实数完备性的基本定理的内容及相应定理证明 的思想方法； 教学难点：区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、Cauchy 准则等的证明；实数完备性的基本定理在应用中的各自特点；覆盖的概念； 教学措施：要求学生在课前做好预习工作，定理证明重在分析并作仔细推 导，在此基础上分析好实数完备性的基本定理在应用中的各自特点； 教学时数：4 一 Cantor 区间套定理 { } 定理 7.1 设闭区间列 [a ,b ] 具有性质： n n (1) [a ,b ] ⊆[a ,b ], n ＝1,2,…;(2) lim (b −a ) ＝0; n+1 n+1 n n n n n→∞ 则存在唯一的实数α，使得α ∈[a ,b ], n ＝1,2,…. n n { } 证明：由条件可知，数列 a 是单调递增且有上界的，据单调有 n 51 { } 界定理可知 a 收敛，设α＝lim a . n n n→∞ 对任意自然数k ，当n k 时，有：ak ≤an bn ≤bk , 由极限的不 等式性质，便知a ≤α≤b , k ＝1,2,…, 这就证明了存在性。 k k 再证唯一性，设β 也满足β ∈[a ,b ], n ＝1,2,…，则由 0≤ α−β n n ≤bn −an 以及条件(2)便知α β ，唯一性得证。 注：(1) 在定理的条件下，还可证明 lim a ＝lim b ＝α n n n→∞ n→∞ (2) 定理中的条件“闭区间”改为“开区间”或“半开半闭区间”， 1 则结论不一定成立。例如，开区间列{(0, )} , 显然满足定理的两个条 n 件，但不存在一个点属于所有的区间。 推论 设 { }