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克里特人伊壁孟德 伊壁孟德：所有的克里特人都是撒谎者。 他说的是真的吗？ 如果他说的是实话，那么克里特人都是撒谎者，而伊壁孟德是克里特人， 他必然说了假话。他撒谎了吗？ 如果他确实撒了谎，那么克里特人就都不是说谎的人，因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎，同时又说真话呢？ 伊壁孟德是个半传奇式的希腊人，他在公元前6世纪住在希腊。有一个神话说他曾经一下子睡了57年。 关于他的上面那段文字，如果我们假定撒谎者总是说假话，不撒谎的人总是说真话，那么就会出现逻辑的矛盾。按此假定，“所有的克里特人都是撒谎者”这句话不可能是真话，因为这说明伊壁孟德既是撒谎的人，因此他说的就不是真话。可是这又意味着克里特人是说真话的，那么伊壁孟德说的话也必定是真话，因此上面引的那句话也不可能是假话。 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话呢！一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于“说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱，据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。 * * * * 趣 话 悖 论 同文中学校本课程 授课人：敖 强 我现在唯一知道的事， 就是我一无所知。 苏格拉底 悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。悖论其字面意思为“荒谬的理论或自相矛盾的话”，实际上它是一个逻辑术语，指一种导致矛盾的命题。 什么是悖论 《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，这种论证称为悖论。特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便称为悖论。 由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。 ?? 一般认为，最早的悖论是公元前六世纪古希腊的“说谎者悖论”。《新约全书·提多书》是这样记述的： ?? 克里特人中的一个本地先知伊壁孟尼德说：“克里特人都是撒谎者，乃是恶兽，又馋又懒。” 公元前4世纪希腊哲学家欧几里德将“说谎者悖论”改进为：“我正在说的这句话是谎话。” 悖 论 举 例 说谎者悖论 一粒麦子构不成麦堆，两粒也不行，三粒也不行……所以无论多少麦子都不是麦堆。 麦 堆 悖 论 芝诺悖论 之 阿基里斯悖论 ? 阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。古希腊数学家芝诺讲：奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟。因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了。因而乌龟必定总是跑在前头。 从前一个老律师立了一个规矩：跟他学习法律的学生可以先不交纳学费。学成毕业后，徒弟如果打赢了第一场官司就得支付学费，否则就可以免付学费。数年后，他的一名弟子满师后的第一件事就是和老律师打一场官司。 诉 讼 悖 论 徒弟所打的主意是：如果我赢了，按照法官的判决，我可以不付学费；如果我输了，那么按照老师的规矩，我也可以不付学费。老律师也积极应诉，他打的算盘是：如果我赢了，按法官的判决收回学费；反之，如果我输了，那按我的规矩学生还是得付钱。 数学上的三次危机与悖论 第一次危机是古希腊时代关于无理数的争论 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即“宇宙一彻现象都能归结为整数或整数之比” 希伯索斯在研究边长为1的正方形时，发现对角线与边长是不可通约的，即不能用整数之比表示这个数。 无理数的发现与” 可通约“的信条想矛盾公开化，人们将这个矛盾称为毕达哥拉斯悖论，它引起了第一次数学危机。 它促使人们进一步认识无理数，扩大了数域，为实数理论的创建和发展作了奠基工作。 希腊人开始重视几何学的演绎推理，一门新的学科欧氏几何学诞生，欧几里得《几何原本》的出现，标志着第一次数学危机的结束，从此，几何学公理化与数理逻辑成为数学界关注的问题。 数学上的三次危机与悖论 第二次危机是17-18世纪关于无穷小的争论 从17世纪微积分诞生以来，它的理论主要建立在无穷小分