实数完备性基本定理之间的等价性.docVIP

学年论文（本科） 学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2010 姓 名 陈方华 论文题目 实数完备性基本定理之间的等价性 指导教师 陶有德 职称 副教授 成 绩 2012 年 5 月18日 目 录 摘要 2 关键词 2 Abstract. 2 Key words. 2 1. 引言 2 2. 实数基本定理的陈述 2 3. 定理1到定理6的循环证明 3 4.举例分析 5 参考文献 6 实数完备性定理之间的等价性 学生姓名:陈方华 学号:20105031106 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师:陶有德 职称:副教授 摘要:本文给出了实数理论的六个基本定理的循环证明 关键词:实数基本定理;等价性;数列;极限;收敛 Abstract:in this paper, a cycle of six fundamental theorem of the theory of real numbers prove. Key words:Real number of the fundamental theorem; equivalence; series; limits; convergence. 1. 引言 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性,实数基本定理是建立与发展微积分学的基础.因此掌握这部分内容是十分必要的,本文主要给出实数理论的6个基本定理的循环证明. 2. 实数基本定理的陈述 定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集,必有上(下)确界. 定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限. 定理3(区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点,使得 . 定理4(有限覆盖定理) 设是一个闭区间,为上的一个开覆盖,则在 中存在有限个开区间,它构成上的一个覆盖. 定理5（聚点原理） 实轴上的有界无限点集至少有一个聚点. 定理6(柯西收敛准则) 数列收敛对任给的正数,总存在某一个自然数,使得时,都有. 3. 定理1到定理6的循环证明 (1) 定理1定理2(确界原理单调有界原理) 证 不妨设为单增有上界数列,即,,有. 记,则由确界原理知U有上确界,不妨记为,则 ,从而,使得成立.因为是单调递增数列,所以,有 .故 . (2) 定理2定理3(单调有界定理区间套定理) 证 因为,所以有 从而可见数列单增有上界,数列单减有下界故由单调有界定理可知 使得,使得. 且有有,所以,于是成立 又因为,所以.记,从而存在性得证. (3) 定理3定理4(区间套定理有限覆盖定理) 证(反证法) 假设闭区间有一个开覆盖不能用它的任有限个开区间覆盖. 定义性质P:不能用中有限个开区间覆盖. Step(1) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则; ; Step(2) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则; Step(n) 将等分为两个子区间,则至少有一个具有性质,不妨记该区间为,则; 由此可得一个区间套且满足 利用二等分法容易构造出满足性质的区间套.故由区间套定理可知,存在唯一的,从而,,有,这与具有性质矛盾.这就证明了有限复盖定理. (4) 定理4定理5(有限覆盖定理聚点原理) 证(反证法) 假设原命题不成立,则由于是直线上的有界无限点集,即存在闭区间,使得, 所以只含中的有限多项.从而得的一个开覆盖记为.由有限覆盖定理可知存在的一个有限子覆盖记为.所以只含有中的有限多个点,这显然与是矛盾的,故可知假设错误,原命题成立. (5) 定理5定理6(聚点原理柯西收敛准则) 证 不妨是无穷基本列,即有有.易证有界.由聚点原理可知至少有一个聚点必含有的无限多项.从而, 任取中满足的某项即可得到 (6) 定理6定理1(柯西收敛准则确界原理) 证 设是一个有上界非空数集,则使得有,取构造区间.定义性质,区间中至少有一个数属于,且区间的右端点为的一个上界.仿(9)的