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第一章 前言 和而产生的一个问题.最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论.英国数学家Gregory J(1638-1675)给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法.从高斯开始，西方数学家们就试图建立无穷级数敛散性的一般判别法则，但最终发现不存在通用于所有级数的判别法.由于已有的判别法均存在自身的局限性，所以针对不同类型的级数往往采用不同类型的判别法. 我国数项级数的研究很早就开始了但是当时人们还没有把它定义为数项级数例如在《庄子天下篇》中就提到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的例子，这就是把每天截下来的那部分长度加起来： （1-1） 这就是最初级数的雏形. 到了现代随着自然科学的迅猛发展，数项级数级数的研究得到了很大提高,研究也日趋完善.也多出了很多的分支，而研究方向也各有不同.简单来讲数项级数可分为正项级数和一般项级数.并对正项级数敛散性的判别法进行了分类整理，并加以综述. 第二章 数项级数及其审敛法 给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 （2-1） 称为数项级数或无穷级数记作.其中称为数项级数的通项.数项级数的前项和记为 （2-2） 称为级数（2-1）的部分和. 若数项级数（2-1）的部分和数列收敛于，（即）则说级数（2-1）收敛，此时极限叫做这级数的和；若没有极限则说级数（2-1）发散.这样级数收敛性的问题就变成了讨论级数部分和极限是否存在的问题.但这种方法由于求出级数的前项和比较困难，甚至不可能求出，因此此方法在实际讨论中很少应用，只适合很容易求出数项级数前项和的级数. 数项级数的两个基本类型为： （1）正项级数即每一项都是非负数的级数.（当然负项级数和正项级数有着相同的敛散性所以讨论正项级数即可） （2）交错级数：级数的各项符号正负相间. 要研究级数的敛散性首先肯定要了解级数的性质和判定定理，现在就重点来研究一下级数性质和判定定理. 2.1级数的审敛法 定理1级数收敛的充分必要条件是：对使得当时，不论是任何自然数，不等式都成立. 推论1：若去掉或增添或改变级数的有限项，则不改变级数的敛散性. 推论2：级数收敛有个很重要的性质：级数收敛的必要条件是：. 证：由于级数收敛，其部分和数列有极限，由于，所以 （2-3） 注：根据这一命题，如果已知一个级数不满足条件，则该级数必是发散的，这也是判断级数敛散性的一个重要依据.用此性质要注意以下三点： 第一，此为必要条件，对任意项级数都成立.因此判别敛散性的思路首先要检验此必要条件是否成立. 第二，此条件不是充分条件即由不能判定级数必收敛 第三，不成立有两层含义：一是极限不存在，二是存在，但不等于0.  第三章 正项级数 本章分五方面来讨论正项级数的审敛法及其关系. 3.1 基本定理 若级数是正项级数，则此正项级数的部分和数列单调增加，即 （3-1） 那么就有判断正项级数收敛的定理： 若正项级数收敛它的部分和数列有上界. 3.2 常用的判别法 3.2.1 比较判别法 定理2 设与是两个正项级数，并且对于每一个，有， （1）若收敛，则收敛； （2）若发散，则发散. 证 由已知，对于每一个,有，所以 （3-2） 若收敛，则数列有上界，从而数列也有上界，则级数收敛，若级数发散，则数列无上界，从而数列也无上界，故级数发散.证毕. 注：（1）用通俗的话说就是：大的收敛，小的亦收敛；小的发散，大的也发散.应该注意，小的收敛不能判断大的亦收敛，大的发散不能判断小的也发散. 用此判别法考察级数是否收敛，一般是将其通项放大或缩小后与几何级数或级数进行比较.但是这里就出现了一个问题，就是如何将级数放大或缩小呢？下面就一个具体例子说明： 例1 判别级数的收敛性 解：由于当时，有 （3-3） 因为正项级数收敛，故由定理2知级数也收敛. 注：上面这个例子就充分运用了比较判别法，把一个不容易判断它的收敛性的级数转化为熟悉的或者可以很直观的判断它的收敛性的级数，然后进行比较，最后得到所判别的级数的敛散性.从这个例子中可以看到用比较判别法之前对级数有的放矢的进行放大或缩小，从而很容易就判断出了级数的敛散性. 然而在实际应用中，它的推论更为方便，也更容易解决所遇到的级数的敛散性问题，那么下面我们就来