(第25课)曲线上一点处的切线.ppt

宿迁青华中学 徐守高 曲线上一点处的切线 曲线上一点处的切线 1.什么叫做平均变化率 几何意义： 平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势 一般地，函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率 曲线y=f(x) 上两点 连线的斜率。 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ .P 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ .P 放大 .P 放大 .P 1）观察“点P附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？ 曲线有点像直线 2）这种现象下，这么一条特殊位置的曲线从其趋势看几乎成了 这种思维方式就叫做“逼近思想”。 直线 从上面的图形来看： 1）.曲线在点 P附近看上去几乎成了直线l 4）.用直线l的斜率来刻画曲线经过p点时的变化趋势 3）.点P附近可以用这条直线l代替曲线 2）.继续放大，曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 P Q o x y y=f(x) 割线 切线 l 探究怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 1）在点P附近能做出比PQ更加逼近曲线的直线l吗？ 2）在点P附近还能做出更加逼近曲线的直线l吗？ 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线. y O x P Q ●切线定义 随着点Q沿曲线C向点P运动，直线PQ在点P附近逼近曲线C， 当点Q 无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l， 这条直线l也称为曲线在点P处的切线． 这种方法叫割线逼近切线. 利用直尺，用割线逼近切线的方法作出 下列曲线在P点处的切线 P P ●P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？ 试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率． y · O P 2 4 Q x 试求f (x)=x2在点(2,4)处的切线斜率． 练习：试求f (x)=x2+1在x=1处的切线斜率． 练习：试求f (x)=x2+1在x=1处的切线斜率． 当△x无限趋近于0时， 割 线 逼 近 切 线， 割线斜率逼近切线斜率 找到定点P的坐标设出动点Q的坐标 求出割线斜率 y x O y = f(x) ?x x0 x0+?x P Q f (x0+?x) ? f (x0) 切线 割线 P（x0,f(x0)) Q(x0+△x,f(x0+ △x)) △x0时,点Q位于点P的右侧 y=f(x) △x0时,点Q位于点P的左侧 2.求出割线PQ的斜率 ,并化简. 求曲线y=f(x)上一点P(x0,f(x0))处切线斜率的一般步骤: 3. 令Δx 趋向于0,若上式中的割线斜率“逼近”一个常数， 则其即为所求切线斜率 1.设曲线上另一点Q(x0 +Δx,f(x0 + Δx)) M （即 ?y) 变式1.已知函数f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程 变式2.已知函数f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程 练习：已知f(x)= ,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率是什么？ 练习.已知函数f(x)=(1-x2)0.5,求曲线y=f(x)在x=0.5处的切线斜率和切线方程 小 结 1、曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映。(局部以直代曲) ● 2、根据定义,利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程。 割线PQ P点处的切线 Q无限逼近P时 割线PQ的斜率 P点处的切线斜率 Q无限逼近P时 Q无限逼近P时 即区间长度趋向于0 令横坐标无限接近 函数在区间[xP,xQ](或[xQ,xP]）上的平均变化率 P点处的瞬时变化率 (导数) 课后作业 * * * * * * * * * * * * 放大 放大 放大 放大