4.1-矩阵的特征值和特征向量.pptVIP

§4.1 矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值 二、特征值与特征向量的性质 矩阵的特征值 特征值与特征向量的性质 第四章 矩阵的特征值 说明 说明 说明 求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题. 解 例 例 设 求A的特征值与特征向量． 解 得基础解系为 例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则 证明 再继续施行上述步骤 次，就得 例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于 　的特征向量，则 证明 例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = I), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = I . 由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征值, 即 |A + I| ? 0. 因而 I + A 可逆. (I + A) - 1 即可得 A =I. 在 (I + A)(I - A) = 0 两端左乘 由 A2 = I可得 (I + A)( I - A) = 0, 证明 例 试证 证：必要性 如果 A 是奇异矩阵，则 |A| ＝0。于是 即0是 A 的一个特征值 充分性： 设 A 有一个特征值为0，对应的特征向量为 x. 由特征值的定义有： 齐次线性方程组有非零解，由此可知 |A| ＝0，即A为奇异矩阵. 亦可叙述为： 证明 即A与其转置矩阵具有相同的特征多项式，因此必有相同的特征值. 证明: 则 类推之，有 定理3：