常微分方程试题2.doc

常微分方程试题 一 填空题 如果存在常数---------------------对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 ２、当（　　　　　　　　）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。 ５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。 7．若是的基解矩阵，则向量函数= _______是 的满足初始条件的解；向量函数= _____ 是的满足初始条件的解。 计算题 求方程 2。求方程的通解。 3。求方程的解。 4.试求方程组的解 5 求方程的通解 6 求的通解 7 求解方程 8、 求解 9 10 三、证明题（１０％） １、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。 2. 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。 参考答案 一填空题 1. ２、　 ３ 　　　　　　　 ４、 ５、 ６、　 7． 二。计算题（每题10分） 1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得 代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z= 带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。 此外方程还有解y=0. 2、 解： 积分：故通解为： 3、解：齐线性方程的特征方程为， ，故通解为 不是特征根，所以方程有形如 把代回原方程 于是原方程通解为 4．解： 得 取 得 取 则基解矩阵 因此方程的通解为： 5 解： 积分因子 两边同乘以后方程变为恰当方程： 两边积分得： 得： 因此方程的通解为： 解方程组 将变量分离后得两边积分得 变量还原并整理后得原方程的通解为 7 整理化简后得方程 从解通解为: 得原方程的通解: 又从解得一个解为: 得原方程的一个解: 通解及一个特解: 8 解：齐线性方程的特征方程为，解得 于是齐线性方程通解为 令为原方程的解，则 得， 积分得； 故通解为 9 解： 则 从而方程可化为 ，， 积分得 10 解：令则于是 得 即 两边积分 于是，通解为 证明题 1.由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解： 考虑 从而是线性无关的。 2. 证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为 x+y=nM，x+y=nN，故有 = = ==0. 故命题成立。