复变函数课件-2.2_1_初等解析函数___一__.pptVIP

1、指数函数的定义： 指数函数的定义： 指数函数的基本性质 初等多值函数 辐角函数： 辐角函数： 沿负实轴的割线： 一般区域： 一般区域（含无穷远点）： 结论： 结论： 结论： 例子： 本节结束 谢谢！ * * Department of Mathematics 第二节 初等解析函数 1、指数函数 2、三角函数与双曲函数 我们首先把指数函数的定义扩充到整个复平面。 要求复变数z=x+iy的函数f(z)满足下列条件 由解析性，我们利用柯西-黎曼条件，有 所以， 因此， 我们也重新得到欧拉公式： y x z-平面 u w-平面 v 因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多值性引起的，所以我们先研究辐角函数： 它本身不是一般意义下的初等函数。 w=Argz函数有无穷个不同的值： 其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的任意一个确定的值记为argz ) 为了研究方便起见，我们把幅角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数，每一个单值连续函数称为幅角函数在这区域内的一个单值连续分支。 考虑复平面除去负实轴（包括0）而得的区域D。显然，在D内，Argz的主值argz 是一个单值连续函数 。 对一个固定的整数k， 也是一个单值连续函数 。 因此，w=Argz在区域D内可以分解成无穷多个单值连续函数，它们都是w=Argz在D内的单值连续分支。 我们首先研究下图的情形： 上沿 下沿 因此，对于幅角函数w=Argz，0和无穷远点是特殊的两点。 在复平面上，取连接0和无穷远点的一条无界简单连续曲线L作为割线，得到一个区域D，其边界就是曲线L。则可以将argz分解成一些连续分支： 1、当L为负实轴时，幅角函数可以分解成无穷个单值连续分支； 2、一般区域见下图： 因此，对于幅角函数w=Argz可以分解成无穷个单值连续分支 Argz在C内上任一点（非原点）的各值之间的联系：通过作一条简单连续曲线围绕0或无穷远点，让z从某点按一定方向沿曲线连续变动若干周后，回到该点时，Argz相应地可从幅角函数的一值连续变动到它在预先指定的其它任一值，即从Argz的一个单值连续分支在该点的值，连续变动到预先指定的其它单值连续分支在该点的值。 在C上作割线 得到区域D=C-K，取Argz在D内的一个单值连续分支f(z)=argz(arg1=0)，那么