高等数学课件D11_2_3全微分方程.ppt

高等数学课件 第二节 一、全微分方程 例1. 求解 例2. 求解 二、积分因子法 常用微分倒推公式: 例3. 求解 练习1 解方程 * 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、全微分方程 二、积分因子法 第十一章 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 式①为全微分方程 则 求解步骤: 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 1. 求原函数 u (x, y) 2. 由 du = 0 知通解为u(x, y) = C . 则称 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因为 故这是全微分方程. 则有 因此方程的通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解. 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 如何解方程 这不是一个全微分方程 , 就化成例2 的方程 . 使 为全微分方程, 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子. 但若在方程两边同乘 若存在连续可微函数 积分因子. 例2 目录 上页 下页 返回 结束 积分因子不一定唯一 . 例如, 对 可取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 分项组合得 即 选择积分因子 同乘方程两边 , 得 即 因此通解为 即 因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 应用积分因子法. 原方程变形为 取积分因子 故通解为 此外, y = 0 也是方程的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *