高中新课程数学(新课标人教A版)必修五《1.1.2-余弦定理》课件.ppt

课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【课标要求】 1．通过对任意三角形边长和角度的探索掌握余弦定理． 2．会借助余弦定理解决一些简单的三角形度量问题． 【核心扫描】 1．应用余弦定理解三角形．(重点) 2．本节内容常与三角函数、三角恒等变换、正弦定理 等知识结合．(难点) 3．应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)  1.1.2 余弦定理 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的_________减去这两边与它们的夹角的_____的积的_____，即 a2＝_______________，b2＝ _______________ ， c2＝ _______________. 余弦定理的推论 自学导引 1． 2． 余弦 平方的和 两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C ：若△ABC为钝角三角形，且A90°，则a，b，c三边满足什么关系？ 提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A90°， 余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类三角形问题： (1)已知三角形的三边，求其_______． (2)已知_____和_____，求第三边和其他两个角． 3． 三个角 两边 夹角 ：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 提示：若△ABC为直角三角形，且C＝90°，则cos C＝ 余弦定理的理解 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具． (1)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． (2)余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它可以用来判定三角形的形状，证明三角形中的有关等式，在一定程度上，它比正弦定理的应用更加广泛． 名师点睛 1． 用坐标法证明余弦定理 如图建立直角坐标系，则A(0,0)，B(c,0)， C(bcos A，bsin A)．由两点间距离公式得 a2＝|BC|2 ＝(bcos A－c)2＋(bsin A－0)2 ＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccos A＋c2 ＝b2＋c2－2bccos A. 同理可证 b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C．  2． 题型一　已知两边及一角解三角形 在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、角C和边a. [思路探索] 可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可以由余弦定理列出关于边长a的方程，首先求出边长a，再由正弦定理求角A、角C. 【例1】 当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形． ∴a＝3. 已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解． 在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c. 解　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0. 【变式1】 [思路探索] 利用余弦定理的推论解题． 题型二　已知三边(三边关系)解三角形 【例2】 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求解，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解． 在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． 解　由余弦定理和条件知： 【变式2】 [思路探索] 用余弦定理将已知等式转化为边之间的关系式，化简后判断三角形的形状．也可用正弦定理将等式化成角的三角函数关系式，进而判断三角形的形状． 题型三　三角形形状的判定 【例3】 ∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形． 法二　在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理， b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， (1)法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式．这两种方法是判断三角形形状的常用手段．然后，利用代数变形或三角函数变形对边的关系或角的关系进行分析判断． (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反