广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之圆锥曲线方程-综合(知识点、典型例题、考点、练习).doc

圆锥曲线综合 . 知识点一　定义和性质的应用 　设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求的值． 解　由题意知，a＝3，b＝2，则c2＝a2－b2＝5，即c＝. 由椭圆定义，知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2. (1)若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2， |PF1|2－|PF2|2＝20. 即 解得|PF1|＝，|PF2|＝. 所以＝. (2)若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2. 即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2或|PF1|＝2，|PF2|＝4(舍去)． 所以＝2. 知识点二　圆锥曲线的最值问题 　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值． 4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10. 如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB||MA′|=10+|MB||MA′|≤10+|A′B|. 当点M在BA′的延长线上时取等号． 所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+2. 又如图所示， |MA|+|MB|=|MA|+|MA′||MA′|+|MB|=10 (|MA′||MB|)≥10|A′B|，当M在A′B的延长线上时取等号． 所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10|A′B|=10 2. 知识点三　轨迹问题 　抛物线x2＝4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程． 解　设直线AB：y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由，可得x2－4kx＋4＝0， ∴x1＋x2＝4k. 又AB和RF是平行四边形的对角线， ∴x1＋x2＝x，y1＋y2＝y＋1. 而y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝4k2－2， ∴，消去k得x2＝4(y＋3)． 由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k2－160， ∴k1或k－1，∴x4或x－4. ∴顶点R的轨迹方程为x2＝4(y＋3)，且|x|4. 知识点四　直线与圆锥曲线的位置关系 　已知直线l：y＝kx＋b与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点． (1)当k＝0,0b1时，求△AOB的面积S的最大值； (2)⊥，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程． 解　(1)把y＝b代入＋y2＝1，得x＝±. ∴S△AOB=×2·b =b=b≤· ， 当且仅当b2 =，即b = 时取等号． ∴△AOB的面积S的最大值为. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(1+2k2)x2+4kbx+2b22=0， ∴x1+x2=，x1·x2= . 又∵OA⊥OB， ∴(x1，y1)·(x2，y2)=0， 即x1x2+y1y2=0. 又x1x2+ y1y2= x1x2 +( k x1+b)(k x2+b) =(k2+1)·x1x2+kb(x1 + x2) +b2 =(k2+1) kb+b2 =， ∴3b2 = 2k2+2. 又设原点O到直线l的距离为d， 则d = . ∴l与以原点为圆心，以为半径的定圆相切， 该圆的方程为x2 + y2 = . 考题赏析 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(陕西高考)已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N. (1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行； · = 0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由． 解　(1) 2代入 y = 2x2，得2x2kx2=0， 由韦达定理得x1 x2 = ， x1x2 = 1，ks5u ∴xN = xM = ， ∴N点的坐标为. 设抛物线在点N处的切线l的方程为 y = m， 将y=2x2代入上式得2x2mx ∵直线l与抛物线C相切， ∴Δ=m28（） = m22mkk2 = (mk)2=0， ∴m=k，即l∥AB. （2）假设存在实数k，使·＝0，则NA⊥NB. 又∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|. 由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2) ＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2. ∵MN⊥x轴， ∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝. 又|AB|＝·|x1－x2| ＝· ＝· ＝·. ∴＝·，解得k＝±2. ·＝0 2．(福建高考)如图所示，椭圆C：＋＝1 (ab0)的一个焦点为F(1,0)，且过点(2,0)． c2=3