几道面积不等式问题证明的思考.doc

几道面积不等式问题证明的思考 　　几何题的一题多证有利于开拓学生的视野，提高学生的思维能力，但有些证法虽然巧妙，却不切学生的知识基础或思维水平，有些证法并无实质性的区别，可见一题多证并非越多越好．如果教师能选择合适的、典型的一些证法，找出其内在联系，并给予恰当的评价，就能收到更好的教学效果．下面通过三道几何面积不等式问题的证明，谈谈个人的点滴想法． 　　1 设△ABC的边BC、CA、AB上分别有点K、L、M， 　　LAM、△MBK和△KCL中，至少有一个面积不大于△ABC面积的四分之一． 　　K、L、M点的特殊位置入手，逐步到一般位置进行认证． 　　1 用SA，SB，SC和S分别表示△LAM、 △MBK、△KCL和△ABC的面积． 　 　　　 　　　　 　　　 　　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　　 　　A1B1∥AB，∴S△MA1B1=S△C1A1B1． 　　 MA1B1和△MA1L中，由于B1到A1M的距离不超过L到A1M的距离， 　　 S△MA1B1≤S△MA1L． 　　 A1到ML的距离，不超过K到ML的距离， 　　 S△MA1L≤S△MKL， 　　 　　2 证明：位于三角形内部的平行四边形的面积，不超过三角形面积的一半． 　　1 如图4，设□M1M2M3M4位于△ABC的内部，分别延长M1M4，M2M3交BC边于P1，P2，在M1M4，M2M3上分别截取P1P4=M1M4，P2P3=M2M3，显然SM1M2M3M4=SP1P2P3P4，且P3P4∥BC．直线P3P4交AB于N，交AC于M，过M作MR∥AB，交BC于R，∵P3P4≤NM，∴S P1P2P3P4≤SBNMR． 　　 　　AM≥MC，则在AM上截取点D使 　　DM=MC(若AM≤MC，则在MC上截 　　D)，过D作ED∥BC交AB于E，由面积公式知： 　　2 先考虑平行四边形M1M2M3M4中有一组边平行于△ABC某一边的这种特殊位置(如图5)，由证法1的后半部分的证明可知： 　　(如图6)，过B作BT∥M1M2交AC于T，BT把△ABC分成两个小三角形． 　　这时，或者也把平行四边形分成两个小平行四边形，或者平行四边形在某小三角形内，根据特殊位置的证明结论，命题同样成立． 　　以上两种证法基本一致，但两者的思路恰好相反，前者是从一般到特殊，后者是从特殊到一般．从特殊到一般更符合人们的思维习惯，并且证明的方向比较明确，也具有普遍意义． 　　3 在角XAY内有一点O，过O作一直线使得这条直线截得这个角得到的三角形面积为最小． 　　O为对称中心． 　　1 作角XAY关于O点的对称角X′A′Y′(如图7)，设B、C为这两个角的对应边的交点，易知B、C关于O点对称，且△BAC即为所求． 　　O作一直线交∠XAY于B1、C1，交∠X′A′Y′于B1′、C1′，∵B1与B1′，C1与C1′关于A点对称， 　　S△B1AC1=S△B1AC1′， 　　 　　 S△BC1B1=S△CB1C1=0时，即B1=B，C1=C时，△AB1C1的面积为最小，这时O是平行四边形ABAC的中心. 　　2 设l是过O的截线，交AX于M，交AY于N，过O作OP∥AN交AM于P，OQ∥AM交AN于Q，设S△POM=x，S△QON=y，S△PAQ =z，MO=a，ON=b， 　　　 　　 　　a=b时，等号成立，即O为MN的中点时，S△MAN取得最小值． 　　2为什么会想到作出△POQ，似乎不易理解．其实，本文的三个例题的证法2都是基于同一问题——一个内接于三角形三边的三角形的面积与原三角形面积之间的关系的研究．由例2的证明知道，如果内接三角形的某一边与原三角形的某一边平行，那么内接三角形的面积不超过原三角形面积的四分之一．而内接 △POQ 只与 ∠XAY 及点A有关，与截线l的位置无关．当O点不是MN的中点时， 　　SMAN＞4S△POQ．所以仅当O在MN的中点时，原三角形的面积取到最小值． 　　从以上问题的讨论，使我们认识到，在中学数学中，命题的证明应选择接近于学生思维习惯和能力水平的方法，并注意挖掘知识与方法的内在联系，通过类比，达到举一反三的效果．