高二学案(学生版) -.docVIP

不 等 式 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ，a+c＞b+c ③、a＞b， ， 那么ac＞bc； a＞b， ，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd ⑤、ab0，那么anbn.（条件 ） a＞b＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a，b0，那么 当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ； （2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离： 任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间 的距离。 定理1 如果a, b是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab≥0时，等号成立。（绝对值三角不等式） 如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 2、绝对值不等式的解法 （1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法： ①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解 集。 ②分段讨论法： 用绝对值不等式的几何意义 零点分区间法 构造函数法 典型例题 例1 解不等式 例2 解不等式||x+3|-|x-3||3。 例3? 解不等式|x2-3|x|-3|1。 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|a有解的a的取值范围。 例5 解不等式基本方法 变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.　　理论依据：　　①；②；③。　　一般步骤：　　第一步：作差；　　第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；　　第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，　　　　　　应根据题目的要求分类讨论.　　第四步：得出结论。　　注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。 　　1、用作差比较法证明下列不等式： 　　（1）；　　（2） (a，b均为正数，且a≠b)　　思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。　　证明：　　（1）　　　　 　　　　 当且仅当a=b=c时等号成立，　　　　 （当且仅当a=b=c取等号）.　　（2）　　　　 　　　　 ∵a0, b0, a≠b, 　　　　 ∴a+b0, (a-b)20,　　　　 ∴，　　　　 ∴.　　总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。　　课堂练习：　　【变式1】证明下列不等式：　　(1)a2+b2+2≥2(a+b)　　(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)　　(3)a2+b2≥ab+a+b-1 　 　　【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2 2、作商比较法　　常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 　　理论依据：　　若、，则有①；②；③.　　基本步骤:　　第一步：判定要比较两式子的符号　　第二步：作商　　第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；　　第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.　　第五步：得出结论。　　注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比