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2007年高考试题中的线性规划问题浅析 王凯成（陕西省小学教师培训中心 710600） 自从2004年线性规划问题进入高考以来，简单的线性规划问题就成了高考数学命题的热点之一. 2007年全国高考共有23套文、理科数学试卷中有23道题与简单的线性规划问题有关，主要以选择填空题和填空题为主，其中山东省文科数学第19题是一道线性规划的应用题（满分12分）.命题者希望通过考查学生解决简单的线性规划问题，达到考查学生应用数形结合思想解决实际问题的能力。以下对2007年高考试题中的线性规划问题作一浅析. 题号 题型 问题 全国卷I 文科6 理科6 选择填空题 求目标函数的最值 北京市 文科6 理科6 选择填空题 求参数的取值范围 天津市 文科2 理科2 选择填空题 求目标函数的最值 重庆市 文科14 理科12 填空题 求目标函数的最值 安徽省 文科9 理科7 选择填空题 求两点之间距离的最值 江苏省 10 选择填空题 求平面区域的面积 辽宁省 文科8 理科8 选择填空题 求比率 福建省 文科14 理科13 填空题 求目标函数的最值 湖北省 文科11 理科13 填空题 求目标函数的最值 陕西省 文科14 理科14 填空题 求目标函数的最值 山东省 文科19 理科14 解答题(12分) 填空题 求最大效益（应用题） 求点到直线距离的最值 浙江省 文科14 理科17 填空题 填空题 求目标函数的最值 求参数的取值范围 例1 已知实数x、y满足条件，则z = x +2y的最大值为___________. (2007年陕西省高考数学理科第14题) 解 首先作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域. 图1 如图1所示：三角形ABC就是可行域. 其次作出直线：x+2y = 0（见图1），平移直线经过可行域内每一点，从图1可知，当平移直线经过C（2，3）点时，目标函数取得最大值. 所以z = x +2y的最大值为2+2×3 = 8. 注：求z = x +2y的最大值，就是求直线x+2y = z的x截距的最大值. 平移直线：x+2y = 0，从图1可以看出，当平移直线过C（2，3）点时，x+2y = z的x截距最大. 所以z = x +2y在点C（2，3）取得最大值. 设变量x、y满足约束条件，则z =2 x + y的最小值为___________. （2007年湖北省高考数学理科第13题、文科第11题） 解 首先作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域. 图2 如图2所示：三角形ABC就是可行域. 其次作出直线：2x+y = 0（见图2），平移直线经过可行域内每一点，从图2可知，当平移直线经过A（， ）点时，目标函数取得最小值. 所以z = 2x +y的最小值为2×（）+ = . 注：求z = 2x +y的最小值，就是求直线2x+y = z的y截距的最小值. 平移直线：2x+y = 0，从图2可以看出，当平移直线过A（， ）点时，2x+y = z的y截距最小. 所以z =2x +y在点A（， ）取得最小值. 已知实数x、y满足，则z = 2x y的取值范围是___________. （2007年福建省高考数学理科第13题、文科第14题） 解 首先作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域. 图3 如图3所示：三角形ABC就是可行域. 其次作出直线：2xy = 0（见图3），平移直线经过可行域内每一点，从图3可知，当平移直线经过A（1，3）点时，目标函数取得最小值；当平移直线经过C（5，3）点时，目标函数取得最大值. 所以z = 2xy的最小值为2×（1）3 = 5，最大值为2×53 = 7. 故知z = 2xy的取值范围是5≤z≤7. 注：求z = 2xy的取值范围，可以分别求出z = 2xy的最小值和最大值. 求z = 2xy的最小值，就是求直线2xy = z的x截距的最小值（z是x截距的2倍）. 平移直线：2xy = 0，从图3可以看出，当平移直线过A（1，3）点时，2xy = z的x截距最小，所以z = 2xy在点A（1，3）取得最小值；求z = 2xy的最大值，就是求直线2xy = z的x截距的最大值（z是x截距的2倍）. 平移直线：2xy = 0，从图3可以看出，当平移直线过C（5，3）点时，2xy = z的x截距最大，所以z = 2xy在点C（5，3）取得最大值. 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告 总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲