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证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心 安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料. 笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1 已知，且 ，求证： 证明：不妨设，则，从而有，于是 2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理. 例2 设，试证： . 证明： 令，，则于是 所以 . 说明：本题可以加强为：设，试证： . 3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3 设，求证： 证明：不妨设，则，于是 （这里转化为齐次了！） 而 ， 故有 等号在时取得. 4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式. 例4 已知正数满足，求证： . 证明：在处的切线方程为，下面证明： . （*） 采用分析法，只需证明，令， 等价于证明，而后者显然成立， 故（*）式成立. 利用（*）式，得 . 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5 已知为非负实数，且，求证： 证明：设. 利用局部调整方法求S的最大值. 不妨设，则. 固定，即一定时， ，在时取得最大值，所以在时取得最大值. 所以，将调整到，由于，所以. 再固定， ，一定时，由，知与差的越大，乘积越小. 所以，在的差最大时，取得最大值. 由知，的差最大为，此时. 所以，原题转化为求的最大值，其中，显然为，当时取等号. 综上知，当中两个为，一个为0时，取得最大值. 故 6．抽屉原理 在桌上有个苹果，要把这个苹果放到个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放个苹果这一现象就是所说的“抽屉原理”，使得 证明：任给13个实数在内一定存在13个实数使得 将区间等分为2个长为的小区间： 根据抽屉原理，必存在两个属于同一小区间，不妨设，且 于是，有，且， 即 ， 令，则有，也就是 故在任意13个实数中，一定能找到两个实数，使得 7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7 已知，a、b不全为零，求证： 证明：所证明的不等式等价于 即 该不等式的左面表示点P（1，1）到点Q之间的距离，右面表示点P（1，1）直线的距离，显然点Q在直线上，而， 故原不等式得证. 8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5 ）设求证： 证明：构造复数，利用复数模的不等式，得 所以 说明：原作者是用换元与反证法来解答此题目的，其实，上述用复数模不等式的证明是比较简明的. 用类似的办法， 还可以证明2008年第8期《中等数学》数学奥林匹克问题高231题：已知为满足的正数，求证： 9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9 已知正数满足，求证： 证明：一方面，构造向量，，，则 另一面, 由条件得知，所以 所以 . 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10 已知数列中，首项，且对任意，均有，求证： 证明：先证明右不等式. 因为， 所以 ， 即 . 从而 故有 再证明左不等式. 因为， 所以 ， 从而 所以 . 从而 , 故 11．函数方法 构造函数后，应用导数方法研究函数的单调性，据此可以证明一些不等式. 例11 （2009年全国高中数学联赛第一试第15题改编）求证： 证明：对函数求导数，得 . 令，得 （*） 因为函数在区间上是递减函数，显然，所以方程（*）有唯一的实数根. 当时，，函数是增函数； 当时，，函数是减函数. 从而，当时， 因为，所以，当时， 故有 例12 已知且，求证：数列对任意都满足，或满足