数列通项公式的求法---函数不动点、方程特征根.docVIP

利用函数的不动点（方程的特征根） 1 若数列满足，且是方程的最小根，则． 已知数列满足，求数列的通项公式． 解：令，则是其最小根，得，由题意知， 两边取对数，得，两边同时加1，得： ， 故是首项为公比为2的等比数列， 所以 ， 故 ． 2 若数列满足且． 2．1 若方程有两个相异实根，则 ． 已知数列满足，求数列的通项公式． 解：令，得为其两根，所以有， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 故 ． 2．2 若方程有两个相等实根，且，则． 已知数列满足，求数列的通项公式． 解：令，得为其根，所以 ， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 故 ． 3 若数列满足，若是方程的两个相异实根，则 已知数列满足，求数列的通项公式． 解：令，得为其两根，所以， 两边取对数，得， 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以 ， 故 ． 相关高考：已知函数，是方程的两个根，是 的导数．设，． （1）求的值； （2）已知对任意的正整数有，记．求数列的前项和． 解：(1)求根公式得, (2) ∴数列是首项,公比为2的等比数列 ， ∴ 不动点法 ，如果数列满足下列条件：已知的值，且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程， 当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列； 当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列． 例、已知数列满足，求数列的通项公式． 解：令，得，则是函数的两个不动点．因为 ．所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则． 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式． 例、已知数列满足，求数列的通项公式． 解：令，得，则是函数的不动点． 因为，所以 ， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故． 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的根，进而可推出，从而可知数列为等差数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式． 特征根法 对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程．若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）． 例、已知数列满足，求数列的通项公式． 解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以．由初始值，得方程组求得 从而． 评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根．再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式． 在数列{}中，，当，，求通项公式. 解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以．由初始值，得方程组求得 从而． 待定系数法：