微分中值定理与导数.docVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用 1．函数在上满足罗尔定理条件的 。 2、若在上满足拉格朗日中值定理，则在内存在的=________。 3．在区间上满足拉格朗日中值定理的中值= 。 4．函数在区间上满足拉格朗日中值定理的 。 5．验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。 6．验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。 7．对函数及在区间上验证柯西中值定理的正确性。 8．试证明对函数应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。 9．证明下列不得等式： ⑴ ⑵当 ⑶当 10．用洛必达法则求下列极限： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ 11．确定下列函数的单调区间。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 12.求下列函数图形的拐点及凹凸区间： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 13．利用函数的单调性证明下列不等式： ⑴当时， ⑵当时， ⑶当时， 14．列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。 ⑴ ⑵ 15．求a,b为何值时，点为曲线的拐点？ 16．求下列函数的极值： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 17．求下列函数的最大值，最小值。 ⑴， ⑵， ⑶， 18．要用薄铁皮造一圆柱体汽油筒，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？ 19．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为5，问底宽为多少时才能使截面的周长最小。 20．一炮艇停泊在距海岸9公里处，派人送信给设在海岸线上距该艇公里的司令部，若派人步行速率为5公里/小时，划船速率为4公里/小时，问他在何处上岸到达司令部的时间最短。 21．将长L为的铁丝分成两段，一段绕成一个圆形，另一段绕成一个正方形，要使两者面积之和最小，应如何分法。 22．用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在长向正中用一堵墙将其隔成两块，问这块地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建材最省？ 23．求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径。 （B） 若函数在（a,b）内具有二阶导数，且，其中,证明：在内至少有一点，使得 证明方程只有一个正根。 设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使 设，求 证明：若函数在内满足，且，则 讨论函数，在处的连续性。 （其中 确定函数的单调区间。 ⑴ ⑵ 求函数图形的凹或凸区间及拐点： ⑴ ⑵ 证明下列不等式： ⑴当时， ⑵当时， ⑶当时， 利用函数的凹凸性，证明下列不等式： ⑴ ⑵ ⑶ （C） 设，证明对任何有 设函数在的某领域内具有一阶连续导数。且，若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。 证明：当时， 设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，c是内任意一点。证明 利用泰勒公式求极限 设存在，证明 设函数在上连续，在内可导，且，试证存在，使 假设函数和在上存在二阶导数，并且 ,试证： ⑴在内 ⑵在内至少存在一点，使 第三章 微分中值定理和导数的应用 习 题 答 案 （Ａ） １、　　　　　　２、　　　　　３、０　　　　　　４、 10、１）１　　　　２）２　　　　　　３）　　　　４）１ ５）　　　　６）０　　　　　　７）１　　　　　　８） ９）　　　　10）　　　　　　11）　　　　　　 12） 11、 1）在内单调递增，在内单调递减。 2）在内单调递减，在内单调递增。 3）在内单调递减，在内单调递增。 4）在内单调递增。 12、1）拐点，在内凸，在内凹。 2）拐点，在内凸，在内凹。 3）没有拐点，处处是凹的。 4）拐点，在内凸，在上是凹。 15、　　　　　　　　　　16、 17、1）极小值，　　　　2）极大值 3）极大值　　　　4）没有极值 18、1）最大值，最小值 2）最大值，最小值 3）最大值，最小值 19、　　　　　　20、底宽米 21、　　　　　　　　　　　　　22、一段为作圆，作正方形 23、长为18米，宽为12米　　　　　 25、 （Ｂ） １、先分别在上用罗尔定理有，再在上对函数用罗尔定理，得证。 ２、