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关于等式与不等式的基本证明 一、考试内容 （一）介值定理 介值定理：若在上连续，且，对于之间的任一个数， ，使．（） 介值定理推论1（零点定理）：若在上连续，且， 则，使．（） 介值定理推论2（零点定理）：若在内连续，且， 则，使．（） 介值定理推论3（零点定理）：若在内连续，且， 则，使．（） 介值定理推论4：若在上连续， ，，且， 对于之间的任一个数，则，使．（可能取到或） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n次实系数多項式，都至多有n個实数零点． （三）积分中值定理 定积分中值定理：若在上连续，则，使． 定积分中值定理推论1：设在上连续，且在上不变号， 则，使． 对于定积分中值定理及其推论1，可能取到或． （四）微分中值定理 罗尔中值定理：若在上连续，在内可导，且， 则，使． 罗尔中值定理的推广形式1：若在上连续，在内可导，且有个不同的零点，则在内至少存在个不同的零点． 罗尔中值定理的推广形式2：若在内可导，且， 则，使． 罗尔中值定理的推广形式3：若在内连续，在内可导， 且，则，使． 罗尔中值定理的推广形式4：若在上连续，在内可导，且， 则在内为单调函数． 拉格朗日中值定理：若在上连续，在内可导， 则，使． （五）不等式定理 凹凸性不等式定理：若则． 积分不等式定理：若，则（），但反之不然． 积分估值定理：若在（）上连续， 则． 积分绝对值不等式定理：（）． 二、典型例题 题型一 恒等式证明 主要方法：求导法、换元法、反证法 例1、求证：（1） （2）． 提示：（1）令用求导法，这比用换元法方便 （2）令，用求导法错误，因,用换元法方便 ． 例2、设在上连续，且，若，则在上，． 证明：用反证法，假设，则 ，则. 这与矛盾，故原式得证． 题型二 方程根的存在性与中值问题 主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法 （1）在或上连续，则 例1、设在上连续，且， 求证：方程在内至少有一根． 提示：取在上用零点Th． 例2、设在上连续，且，求证：使． 证明：设，则在上连续， ，，使 同理，由，使 故，在上满足零点定理，因而，原题得证． 例3、在上连续， ，且， 求证：使．（此为的加权平均值） 提示： ， 有． 事实上，对于定积分中值定理的证明同上， 则，使．（此为在上的平均值） 例4、设是满足的实数，求证：在内至少有一实根． 提示：令，构造在上用罗尔． 例5、设为上的任一连续函数，且 求证：在内至少有一根． 提示：令，构造在上用罗尔定理． 例6、设为上的任一连续函数，记在上的平均值为， 求证：，使． 提示：令，构造，用罗尔定理． （2）在或上可导，则 例1、设在连续，在上可导，且 ， 试证： ，使． 提示：由积分中值定理知，，用罗尔定理． 例2、设在连续，在上可导，且对于有 试证：，使 ． 提示：令， 构造函数在上用罗尔Th． 例3、设在上连续，在上可导 求证：，使． 提示：（1）令，构造在上使用Lagrange （2）令，构造在上使用罗尔． 例5、设于连续，内可导，对恒有， 求证：若在内有两个零点，则介于其之间，至少有一个零点． 提示：用反证法，假设，且， 构造，则，与条件矛盾． 例4、设在上一阶可导， ，， 证明：（1）存在，使；（2）存在，使． 提示：（1）由保序性，，使得，由零点定理知（1）． （2）注意到（1）及题设条件，知函数在上存在两个零点， 于是在上有两个零点，由Rolle定理，易证（2）． 题型三 非积分不等式 主要方法 构造函数，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可. 利用函数的凹凸性. 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. 利用中值法证明不等式. 例1、设，求证：(i) ； (ii) ． 提示：(i)令或 (ii) 令，则，有． 例2、比较的大小． 提示：，比较的大小，取对数构造，易证． 例3、设二阶可导，当时，，且，，求证：． 提示：令，需两次求导． 例4、当时，求证：． 提示：令． 例5、，求证：． 提示：其等价于，令，． 若，原命题成立，现证明在时单调递减 ， 时，，则；时，，则． 例6、设，求证：. 提示：令，求其在的最值． 例7、设在内有，且，求证：． 证明：易知 令 ，求其最大值，因，则易证． 例8、若及，求证：． 提示：令，在上对应用拉氏定理． 例9、在上，，且在内取最大值，求证：． 证明：设则 在对分别应用拉氏定理，则易证． 题型四 积分不等式 主要方法 （1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数） 积分中值定理 （3）微分中值定理（被积函数具有可导条件）